Matrices telles que X^4=I_n

Bonsoir
$ABA=B$, donc $ABAB=BB$ donc $A^2=B^2$ Ainsi $A^4=B^2.A^2=B^2.ABA.B=B^2BB=B^4$.
Je n'ai pas encore regardé l'égalité avec l'identité certainement demain je terminerai l'exercice.

Bonjour,

Plutôt $A^2=B^6=A^6=A^2A^4$ donc $A^4=I$ car $A^2$ est inversible.

Cordialement,

Rescassol

Bon, en fait, j'ai la réponse à ma dernière question : le groupe engendré par $A$ et $B$ est le groupe des quaternions.

Il suffit de demander : $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

Merci Guego !

Guego a écrit:

Bon, en fait, j'ai la réponse à ma dernière question : le groupe engendré par $A$ et $B$ est le groupe des quaternions.

C'est le cas dans tes exemples mais le premier que tu as donné fait apparaître un bloc qui fonctionne et qui n'a pas de rapport avec les quaternions : \[
A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad
B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.\] Le groupe est $\Z/2\Z$ et, si on supprime le signe $-$, c'est même peut-être le groupe trivial.

La bonne réponse est sans doute « un quotient du groupe quaternionique ». Cela doit dépendre de l'ordre de $AB$, qui doit pouvoir être $1$, $2$ ou $4$.

Poursuivons. L'élément $z=a^2=b^2=(ab)^2$ est central et d'ordre $2$ dans $\mathbf{H}_8$ et il appartient à tout sous-groupe normal.

Avec deux matrices $A$ et $B$ qui en définissent une représentation, on sépare d'un côté $\ker(A^2-\mathrm{id})$, sous-espace sur lequel $\mathbf{H}$ agit via un quotient abélien $\mathbf{H}_8/\langle z\rangle$ ; les matrices $A$ et $B$ « restreintes » à ce sous-espace sont simultanément diagonalisables et leurs valeurs propres sont $\pm1$ (indépendamment), d'où quatre sous-espaces possibles (Guego l'avait suggéré à travers le bloc 2x2 en haut à gauche).

D'un autre côté, on a $\ker(A^2+\mathrm{id})$, espace qui est muni d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des quaternions. Sur $\R$, les matrices $A$ et $B$ sont semblables à des matrices diagonales par blocs dont les blocs diagonaux sont donnés par Guego. Sur $\C$, idem avec les blocs 2x2 en bas à droite de son message précédent.

Bonjour,

C'est juste la façon de rédiger, j'ai les réflexes de celui qui lit un travail d'élève, même si ce n'est pas le cas. Dans $A^2 =BAB BAB =BA A^2 A B =B A^4 B=B^2$, je lis le dernier $B^2$ comme une conséquence du $BA^4B$ précédent (et dans ce cas c'est $B^6$ parce que $A^4=B^4$), alors que tu le tires du $A^2$ du début de la ligne égal à $B^2$ à cause de la propriété précédemment démontrée. On est d'accord, mais le cheminement n'était pas clair pour moi.

Cordialement,

Rescassol