Somme d'arcsin
Bonjour
1/ Trouver une suite $u_n$ telle que
$$
w_n=\sum_{k=1}^{n}\arcsin\Big(\frac{4k^2}{4k^4+1}\Big)=\arcsin(u_n)
$$ Niveau math-sup année 80
2/ Prolongement 28 Mai 2021
Proposer des suites réelles $(t_k)$ et $(u_n)$ telles que
$$
\sum_{k=1}^{n} \arccos(t_k) = \arccos(u_n).
$$ Merci.
1/ Trouver une suite $u_n$ telle que
$$
w_n=\sum_{k=1}^{n}\arcsin\Big(\frac{4k^2}{4k^4+1}\Big)=\arcsin(u_n)
$$ Niveau math-sup année 80
2/ Prolongement 28 Mai 2021
Proposer des suites réelles $(t_k)$ et $(u_n)$ telles que
$$
\sum_{k=1}^{n} \arccos(t_k) = \arccos(u_n).
$$ Merci.
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Réponses
Une double égalité.
Pour:
(w_n) = arcsin (u_n), c'est trivial, il suffit de considérer la réciproque de l'arcsinus.
Pour l'autre égalité ... je vais chercher.
Mais il doit y avoir une histoire de convergence de séries.
Si (w_n) = arcsin (u_n), alors, réciproquement, sur les domaines de défintion respectives à (w_n) et (u_n), on a:
(u_n) = sin(w_n).
Et donc, en appliquant le sinus à une somme d'arcsinus, on a:
Somme[k=1,n] [sin(arcsin(4k²/(4k^4+1)]
= Somme[k=1,n] [4k²/(4k^4+1)].
Et ensuite, une petite décomposition en fractions rationnelles, peut-être...
En tout cas, l'expression:
lim_(x->inf)_[k²/(k^4+1)] = 0.
C'est un des deux critères de la convergence normale.
Le critère complémentaire de convergence est que:
la suite des [k²/k^4+1] convergence en valeur absolue.
La décomposition en fractions rationnelles n'est pas très jolie (mais intégrable).
Il faut tester la série finie si elle converge normalement, absolument ou uniformément.
Donc $u_n=\frac{4n^2}{4n^4+1}\sqrt{1-u_{n-1}^2} + \frac{4n^4-1}{4n^4+1}u_{n-1}$ et $u_0=0$
On a un critère de convergence de Sum[k=1,+inf][k²/(k^4+1)]:
lim(k->+inf) = 0.
Ensuite, une façon simple de déterminer la convergence de la somme partielle est de trouver un majorant.
On a pour n € |N*:
1 < k < n => 1² = 1 < k² < n²
et:
1 < k < n => 1^4 = 1 < k^4 < n^4
Comme k est toujours un terme positif, de même que k², k^4 + 1,
[k²/(k^4+1)] est également à termes positifs pour k allant de 1 à n.
Dans ce cas, un majorant de [k²/(k^4+1)] sur l'intervalle 1,n est:
[n^4/(n^4 + 1)] > [n^2/(n^4 + 1)].
lim(n->+inf) [n^4/(n^4 + 1)] = 1.
Donc Sum[k=1,+inf][k²/(k^4+1)] est convergente.
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Bonsoir Marco,
La solution que t'as trouvée est très élégante.
Mais n'y a-t-il pas plus simple, plus trivial :
(lim(un) ->0) et convergence (monotone ou pas) ?
Je crois avoir compris que ta solution est de nature analytique.
Est-ce en exploitant les expressions exactes de la fonction arcsin ?
Merci pour ta réponse.
Très élégante, ta solution. J'avais pensé à utiliser des propriétés analytiques mais je pensais que cela aurait été trop fastidieux.
Merci, ça me servira
Même question que Marco.
J'ai essayé d'utiliser des factorisations et expressions conjuguées, je sens que je [n'étais] pas loin du but [mais] je n'arrive pas à éliminer les Un-1.
Je pense que Un et Un-1 convergent vers la même limite.
Donc il suffit de résoudre l'équation donnée par la relation de récurrence fournie par MARCO.
Tort ou raison ?
je trouve que:
l² (limite) = 2n/(2n + 1).
Pas loin du résultat attendu.
La somme d'$\arctan$ est plus simple à calculer que la somme d'$\arcsin$.
Pour le 2/, j'ai à la suite (désolé pour le brouillon qui ressemble à du BASIC):
(i) SOMME(k=1,n)[arccos(tk)] = arccos(un)
=>
(ii) COS[SOMME(k=1,n)[arccos(tk)] = COS[arccos(un)]
=>
(iii) SOMME(k=1,n)[COS(arccos(tk))] = un
=>
(iv) (n/2)*(t1+tn) = un
=>
Conclusion: un = n convient si on prend t1 = t2 = ... = tn = 1.
J'ai l'impression d'avoir fait une erreur, ça semble trop facile
En recherchant $v_k$ telle que $\arctan \dfrac1{2k^2}=\arctan v_k-\arctan v_{k-1}$ on voit que $v_k=2k+1$ convient.
On en déduit $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\arcsin \dfrac{4k^2}{4k^4+1}=2\left(\arctan(2n+1)-\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\pi}2-2\arctan\dfrac1{2n+1}$.
D'où enfin $u_n=\cos\left(2\arctan\dfrac1{2n+1}\right)=\dfrac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}$.
$$\sum_{k=1}^{n} \arccos\Big(\frac{4k^4-1}{4k^4+1}\Big) = \arccos\Big(\dfrac{2n+1}{2n^2+2n+1}\Big).$$
La solution que tu as trouvée est élégante (faut je refasse les étapes intermédiaires) mais n'y a-t-il pas une solution triviale ou plus évidente ?
J'ai utilisé le fait que le cosinus d'une somme de arccos est également la somme des cosinus(arccors). Est-ce correct ? Y a-t-il une lacune dans le calcul ?
Merci,