Somme d'arcsin

etanche · May 2021

Bonjour
1/ Trouver une suite $u_n$ telle que
$$
w_n=\sum_{k=1}^{n}\arcsin\Big(\frac{4k^2}{4k^4+1}\Big)=\arcsin(u_n)

$$ Niveau math-sup année 80

2/ Prolongement 28 Mai 2021
Proposer des suites réelles $(t_k)$ et $(u_n)$ telles que
$$
\sum_{k=1}^{n} \arccos(t_k) = \arccos(u_n).

$$ Merci.

Thibaut · May 2021

Bonsoir,

Une double égalité.
Pour:
(w_n) = arcsin (u_n), c'est trivial, il suffit de considérer la réciproque de l'arcsinus.

Pour l'autre égalité ... je vais chercher.
Mais il doit y avoir une histoire de convergence de séries.

Si (w_n) = arcsin (u_n), alors, réciproquement, sur les domaines de défintion respectives à (w_n) et (u_n), on a:
(u_n) = sin(w_n).

Et donc, en appliquant le sinus à une somme d'arcsinus, on a:
Somme[k=1,n] [sin(arcsin(4k²/(4k^4+1)]
= Somme[k=1,n] [4k²/(4k^4+1)].

Et ensuite, une petite décomposition en fractions rationnelles, peut-être...

Thibaut · May 2021

Re-,

En tout cas, l'expression:
lim_(x->inf)_[k²/(k^4+1)] = 0.
C'est un des deux critères de la convergence normale.
Le critère complémentaire de convergence est que:
la suite des [k²/k^4+1] convergence en valeur absolue.

La décomposition en fractions rationnelles n'est pas très jolie (mais intégrable).

Il faut tester la série finie si elle converge normalement, absolument ou uniformément.

marco · May 2021

$\arcsin(u_n)=\arcsin(\frac{4n^2}{4n^4+1})+\arcsin(u_{n-1})$
Donc $u_n=\frac{4n^2}{4n^4+1}\sqrt{1-u_{n-1}^2} + \frac{4n^4-1}{4n^4+1}u_{n-1}$ et $u_0=0$

Thibaut · May 2021

Re-Bonsoir,

On a un critère de convergence de Sum[k=1,+inf][k²/(k^4+1)]:
lim(k->+inf) = 0.

Ensuite, une façon simple de déterminer la convergence de la somme partielle est de trouver un majorant.

On a pour n € |N*:
1 < k < n => 1² = 1 < k² < n²
et:
1 < k < n => 1^4 = 1 < k^4 < n^4
Comme k est toujours un terme positif, de même que k², k^4 + 1,
[k²/(k^4+1)] est également à termes positifs pour k allant de 1 à n.

Dans ce cas, un majorant de [k²/(k^4+1)] sur l'intervalle 1,n est:
[n^4/(n^4 + 1)] > [n^2/(n^4 + 1)].

lim(n->+inf) [n^4/(n^4 + 1)] = 1.
Donc Sum[k=1,+inf][k²/(k^4+1)] est convergente.

Thibaut · May 2021

marco écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2254094,2254106#msg-2254106
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

Bonsoir Marco,

La solution que t'as trouvée est très élégante.
Mais n'y a-t-il pas plus simple, plus trivial :
(lim(un) ->0) et convergence (monotone ou pas) ?

Je crois avoir compris que ta solution est de nature analytique.
Est-ce en exploitant les expressions exactes de la fonction arcsin ?
Merci pour ta réponse.

marco · May 2021

J'ai appliqué à la première égalité la fonction sinus, et utilisé l'égalité $\sin(x+y)=\sin(x) \cos(y)+\cos(x) \sin(y)$, ainsi que $\cos (\arcsin(x))= \sqrt{1-x^2}$

Thibaut · May 2021

Ah, Marco,

Très élégante, ta solution. J'avais pensé à utiliser des propriétés analytiques mais je pensais que cela aurait été trop fastidieux.

Merci, ça me servira

Guego · May 2021

Avec la relation de récurrence trouvée par marco, on a $u_n = \dfrac{2n(n+1)}{2n(n+1)+1}$ pour tout $n\in \N$.

marco · May 2021

Guego: (tu) je cherchais l'expression car j'avais vu que $u_n$ était de la forme $\frac{m}{m+1}$, mais je ne la trouvais pas. Comment as-tu fait ?

Thibaut · May 2021

Bonsoir, Guego,

Même question que Marco.
J'ai essayé d'utiliser des factorisations et expressions conjuguées, je sens que je [n'étais] pas loin du but [mais] je n'arrive pas à éliminer les Un-1.

Thibaut · May 2021

Re-
Je pense que U_n et U_n-1 convergent vers la même limite.
Donc il suffit de résoudre l'équation donnée par la relation de récurrence fournie par MARCO.

Tort ou raison ?

Guego · May 2021

marco a écrit:

Comment as-tu fait ?

J'ai calculé (avec ordi) les 10 premiers termes, et d'après la vitesse de croissance du dénominateur, j'ai conjecturé du polynomial de degré $2$. J'ai alors cherché les coefficients pour que ça coïncide avec les premiers termes. Et après, il n'y a plus qu'à vérifier que ça marche.

Thibaut · May 2021

En appliquant le théorème du point fixe,
je trouve que:

l² (limite) = 2n/(2n + 1).
Pas loin du résultat attendu.

marco · May 2021

Guego: merci.

Chaurien · May 2021

On pouvait aussi observer que pour $k \in \mathbb N^*$ : $\arcsin \frac{4k^2}{4k^4+1} =\arccos \frac{4k^4-1}{4k^4+1} = \arctan \frac{4k^2}{4k^4-1} $.
La somme d'$\arctan$ est plus simple à calculer que la somme d'$\arcsin$.

Thibaut · May 2021

Va falloir que je révise ma trigo !

etanche · May 2021

Je viens de poster une question 2/ voir mon post initial

Thibaut · May 2021

Bonsoir (ce sera mon dernier post pour ce soir),

Pour le 2/, j'ai à la suite (désolé pour le brouillon qui ressemble à du BASIC):

(i) SOMME(k=1,n)[arccos(tk)] = arccos(un)
=>
(ii) COS[SOMME(k=1,n)[arccos(tk)] = COS[arccos(un)]
=>
(iii) SOMME(k=1,n)[COS(arccos(tk))] = un
=>
(iv) (n/2)*(t1+tn) = un
=>
Conclusion: un = n convient si on prend t1 = t2 = ... = tn = 1.

J'ai l'impression d'avoir fait une erreur, ça semble trop facile

jandri · May 2021

J'ai utilisé la suggestion de Chaurien, légèrement améliorée, en écrivant $\arcsin \dfrac{4k^2}{4k^4+1} =2\arctan \dfrac1{2k^2}$.

En recherchant $v_k$ telle que $\arctan \dfrac1{2k^2}=\arctan v_k-\arctan v_{k-1}$ on voit que $v_k=2k+1$ convient.

On en déduit $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\arcsin \dfrac{4k^2}{4k^4+1}=2\left(\arctan(2n+1)-\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\pi}2-2\arctan\dfrac1{2n+1}$.

D'où enfin $u_n=\cos\left(2\arctan\dfrac1{2n+1}\right)=\dfrac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}$.

jandri · May 2021

Pour le problème 2 il y a la solution :
$$\sum_{k=1}^{n} \arccos\Big(\frac{4k^4-1}{4k^4+1}\Big) = \arccos\Big(\dfrac{2n+1}{2n^2+2n+1}\Big).$$

Thibaut · May 2021

Bonsoir, Jandri,

La solution que tu as trouvée est élégante (faut je refasse les étapes intermédiaires) mais n'y a-t-il pas une solution triviale ou plus évidente ?

J'ai utilisé le fait que le cosinus d'une somme de arccos est également la somme des cosinus(arccors). Est-ce correct ? Y a-t-il une lacune dans le calcul ?

Merci,