Endomorphisme de rang 1
Bonjour,
C'est la question 40 du sujet et la première qui me pose de gros problèmes.
Je ne comprends pas la fin du corrigé. En quoi le fait de montrer que la matrice de $u_i \circ u$ dans la base $(\varepsilon_i)_{1 \leq i \leq n}$ est $E_{ij}$ permet de conclure que tout endomorphisme de $E$ est combinaison linéaire d'endomorphismes de rang 1 dans $\mathcal A$ ?
Je n'ai pas compris non plus comment on en déduit $\mathcal A= \mathcal L(E)$.
C'est la question 40 du sujet et la première qui me pose de gros problèmes.
Je ne comprends pas la fin du corrigé. En quoi le fait de montrer que la matrice de $u_i \circ u$ dans la base $(\varepsilon_i)_{1 \leq i \leq n}$ est $E_{ij}$ permet de conclure que tout endomorphisme de $E$ est combinaison linéaire d'endomorphismes de rang 1 dans $\mathcal A$ ?
Je n'ai pas compris non plus comment on en déduit $\mathcal A= \mathcal L(E)$.
Réponses
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Quel est le rang d’une matrice $E_{i,j}$?
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Il vaut 1.
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Mais je ne comprends toujours pas la phrase encadrée.
C'est où que le corrigé montre que tout élément de E est combinaisons linéaire d'endomorphismes de rang 1 dans 1 ? -
Toute matrice peut se décomposer en fonction des $E_{i,j}$.
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Je sais mais je ne comprends pas à quoi ça sert tout le raisonnement avant.
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Ah j'ai compris. On a montré que les matrices élémentaires sont des éléments de A. On savait déjà qu'elles formaient une base de l'ensemble des matrices.
Il reste juste le A=L(E) comment on le déduit ? -
Definition d'une algebre?
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Un espace vectoriel et un anneau qui vérifie une une autre propriété.
Une sous-algèbre est stable par produit et par combinaison linéaire donc L(E) est inclus dans A. Comme A est une partie de L(E) on a A=L(E).
Comment le correcteur a eu l'idée de poser cette application ? -
Non.
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Une algèbre est un ensemble muni de trois lois.
Les deux premières lui donnent la structure d'espace vectoriel.
La troisième loi est une loi de composition interne appelée produit. Cette loi est associative, possède un élément neutre, et est distributive par rapport à l'addition.
Enfin, les deux produits sont compatibles.
Quelle est l'erreur dans mon raisonnement ? On sait que $\mathcal A \subset \mathcal L(E)$. Il faut montrer que $\mathcal L(E) \subset \mathcal A$.
Soit $v \in \mathcal L(E)$. Alors $v \in Vect( u_{ij} \ | \ (i,j) \in [|1,n|]^2 \ | u\ _{ij} \in \mathcal A | rg (u_{ij})=1 \} \subset \mathcal A$ car $\mathcal A$ est une sous-algèbre de $\mathcal L(E)$. -
Ca a l'air mieux mais au vu de comment tu écris l'ensemble auquel appartient v je n'arrive pas à savoir si tu as compris l'énoncé ou non...
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Plus simplement avec les matrices, $(E_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ est une base de $\mathcal M_n(\C)$ donc toute matrice de $\mathcal M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison linéaire d'éléments de la famille $(E_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$.
Les endomorphismes associés aux matrices élémentaires $E_{ij}$ étant dans $\mathcal A$ et de rang $1$, toute combinaison linéaire reste dans $\mathcal A$. -
Ne devrais-tu pas être incollable sur les endomorphismes de rang 1 depuis le temps OShine?(après le nième fil sur de tels endomorphismes...)
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Oui c'est vrai.
Mes ces questions sont loin d'être évidentes. Le rapport du jury dit : "questions pour la plupart difficiles voire très difficiles, et très peu traitées."
C'est vrai qu'elles nécessites un niveau très solide en algèbre linéaire.
Autre lacune, je ne savais plus que $rg( u \circ v) \leq \min (rg \ u,rg \ v)$. Je viens de vérifier, c'est dans le cours de MPSI en exercice d'application du cours. -
Bonsoir,
on doit bien lire transposée de u? -
Je trouve $M=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
3 & 6 & 9 & 12 \\
4 & 8 & 12 & 16 \\
5 & 10 & 15 & 20 \\
6 & 12 & 18 & 24
\end{pmatrix}$
On a $C_2= 2 C_1$, $C_3=3C_1$ et $C_4=4C_1$ donc $\boxed{rg \ M =rg \ C_1=1}$ -
Dommage, tu as rappelé que le rang d'un produit est inférieur au minimum des rangs mais visiblement, ça ne t'a pas effleuré l'esprit une seconde qu'on pouvait répondre à la question en 1 ligne.
Tant que tu auras cette attitude 0 réflexion, tu peux dire adieu à tout progrès mathématiques. -
Oui c'est vrai.
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Pour moi, Oshine, tu as l'attitude d'un élève de fin de lycée qui est intéressé par les maths et qui passe son temps à lire du contenu mathématique en croyant que cela le fera progresser.
Il sera même fier d'annoncer dans son dossier Parcoursup qu'il a lu des ouvrages de vulgarisation et de citer des gros mots (comme "théorie des groupes", ""topologie" voire "homotopie") mais est la plupart du temps incapable de donner ne serait-ce qu'une définition correcte.
Ceux-là ont vraiment du mal à passer la marche du premier semestre après le bac... et j'ai l'impression que tu ne l'as pas non plus passée.
Plus exactement, tu es comme Sisyphe : tu gravis la marche tous les jours, mais tu la redégringoles chaque soir... -
Bisam j'ai réussi toutes les questions des parties 1 à 4 de ce sujet sauf la 15 et la 29.
J'ai lu le corrigé de la partie 5 car elle est difficile. -
OS a écrit:un niveau très solide en algèbre linéaire.
:-D Une matrice rang (au plus) 1, c'est un tableau de nombres dans lequel les lignes sont proportionnelles (et donc les colonnes aussi). En sixième à l'époque où la proportionnalité était au programme, je donnais la question suivante en interro (en bonus) :
"Dans un tableau de nombres qui a ses lignes proportionnelles prouver que les colonnes le sont" (je déteste cette formulation "en français", mais là je te dis ça pour l'anecdote.
A ce que je vois tu continues de faire du droit, c'est à dire de détecter toutes les petites ambiguïtés des livres, un peu comme si inconsciemment tu espérais recevoir un dédommagement "la correction de tel livre est ambigue, donc je mérite les points"
Ta venue sur le forum est un évènement historique: grâce à toi, chaque jour nous rappelle que l'autorat d'oeuvres universitaires est une activité bénévole qui conduit à des livres imparfaits.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Bisam
Connais-tu un de tes étudiants qui puisse résoudre cette dernière question ? Je ne vois pas ce que je peux faire à part lire le corrigé, cette question est jugée très difficile par le rapport du jury.
J'ai finalement compris le corrigé. Il aurait été plus judicieux de noter $[u_i \circ u]_j$ car l'endomorphisme dépend de $i$ et de $j$.
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