Théorème de descente de Springer
Bonjour, j'étudie actuellement le théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques dans le livre de Phillipe Caldero et Marie Peronnier, Carnet de voyage en Algébrie, mais il y a un passage que je ne comprends pas.
Il s'agit de montrer qu'étant donné un corps $\mathbb{K}$, une extension $\mathbb{L}$ de degré $m$ impair et une forme quadratique $Q$ sur $\mathbb{K}^n$, s'il existe un vecteur $x\in \mathbb{L}^n$ non nul tel que $Q(x)=0$, il existe $x_0\in \mathbb{K}^n$ non nul tel que $Q(x_0)=0$.
Pour les étapes de la preuve, on commence par se ramener à $\mathbb{L}=\mathbb{K}[\alpha]$, et on note $\mu$ le polynôme minimal de $\alpha$. Ensuite, on montre qu'il existe des polynômes $P_i$ tel que $x=(P_i(\alpha))$ et $\mathrm{deg}(P_i)<m$, et on montre que $Q(P_1,\cdots,P_n)=\mu A$, et on montre aussi que l'on peut se ramener à un cas où les $P_i$ sont premiers entre eux.
Mon problème vient ensuite : le corrigé énonce que $A$ est de degré impair, car $Q(P_1,\cdots,P_n)$ est de degré pair, or je ne vois pas pourquoi il le serait nécessairement.
En consultant une autre source, une autre preuve fait utilise la méthode de Gauss pour écrire $Q=\sum a_i X_i^2$, alors, on voit ici que l'on a bien $\sum a_iP_i^2$ de degré pair, sauf potentiellement dans le cas où le coefficient dominant $\sum a_ib_i^2$ (avec $b_i$ coefficient dominant de $P_i$ s'annule), mais ce cas n'est pas problématique, car il donne alors $(b_1,\cdots,b_n)\in \mathbb{K}^n$ isotrope.
Cependant cette correction me gène : une remarque après le théorème dans Carnet de de voyage en Algébrie est que le théorème (et sa preuve) est valable en caractéristique $2$. Or pour effecteur l'algorithme de Gauss, on doit supposer être en caractéristique différente de $2$.
Je cherche donc à comprendre pourquoi dans la preuve originale, $Q(P_1,\cdots,P_n)$ est bien de degré pair, ou bien s'il y a un problème comment le corriger pour garder une preuve en caractéristique $2$.
Edit : j'avais oublié les hypothèses $x$ et $x_0$ vecteurs non nuls, sinon il est évident que $0$ est isotrope.
Il s'agit de montrer qu'étant donné un corps $\mathbb{K}$, une extension $\mathbb{L}$ de degré $m$ impair et une forme quadratique $Q$ sur $\mathbb{K}^n$, s'il existe un vecteur $x\in \mathbb{L}^n$ non nul tel que $Q(x)=0$, il existe $x_0\in \mathbb{K}^n$ non nul tel que $Q(x_0)=0$.
Pour les étapes de la preuve, on commence par se ramener à $\mathbb{L}=\mathbb{K}[\alpha]$, et on note $\mu$ le polynôme minimal de $\alpha$. Ensuite, on montre qu'il existe des polynômes $P_i$ tel que $x=(P_i(\alpha))$ et $\mathrm{deg}(P_i)<m$, et on montre que $Q(P_1,\cdots,P_n)=\mu A$, et on montre aussi que l'on peut se ramener à un cas où les $P_i$ sont premiers entre eux.
Mon problème vient ensuite : le corrigé énonce que $A$ est de degré impair, car $Q(P_1,\cdots,P_n)$ est de degré pair, or je ne vois pas pourquoi il le serait nécessairement.
En consultant une autre source, une autre preuve fait utilise la méthode de Gauss pour écrire $Q=\sum a_i X_i^2$, alors, on voit ici que l'on a bien $\sum a_iP_i^2$ de degré pair, sauf potentiellement dans le cas où le coefficient dominant $\sum a_ib_i^2$ (avec $b_i$ coefficient dominant de $P_i$ s'annule), mais ce cas n'est pas problématique, car il donne alors $(b_1,\cdots,b_n)\in \mathbb{K}^n$ isotrope.
Cependant cette correction me gène : une remarque après le théorème dans Carnet de de voyage en Algébrie est que le théorème (et sa preuve) est valable en caractéristique $2$. Or pour effecteur l'algorithme de Gauss, on doit supposer être en caractéristique différente de $2$.
Je cherche donc à comprendre pourquoi dans la preuve originale, $Q(P_1,\cdots,P_n)$ est bien de degré pair, ou bien s'il y a un problème comment le corriger pour garder une preuve en caractéristique $2$.
Edit : j'avais oublié les hypothèses $x$ et $x_0$ vecteurs non nuls, sinon il est évident que $0$ est isotrope.
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Réponses
Soit $Q(P_1,\ldots,P_n)$ est de degré $k=2\max(\deg(P_1),\ldots,\deg(P_n))$ soit (en regardant le coefficient du monôme de degré $k$) il existe un vecteur non nul isotrope pour $Q$.
Maintenant d'appliquer ceci sans méthode de Gauss, on a $Q(P_1,\cdots,P_n)=\sum a_{i,j}P_iP_j$, on a le plus gros degré potentiel qui est $k$, et pair, et avec coefficient $\sum a_{i,j}b_ib_j$, qui vaut aussi $Q(b_1,...,b_n)$, donc soit ce vecteur $(b_1,...,b_n)$ est isotrope, et la preuve est terminée, soit il ne l'est pas et le coefficient de degré $k$ est non nul, donc le polynôme est bien de degré pair !
Merci beaucoup.