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Matrice combinaison linéaire colonnes

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dans Algèbre
Bonjour, soit $A\in \mathbb R^{n\times n}$ et $A_i$ ses vecteurs colonnes.
Posons $\lambda_j=A_j-\sum_{i=1}^{j-1}\|\lambda_i\| A_i$ où $\lambda_1=A_1$.

J'aimerais savoir pourquoi si on a que rang$(A)<n$ alors on a $\lambda_l=0$ pour un certain $l$?

En effet cela voudrait dire que pour un certain rang $l$, un vecteur colonne $A_l$ s'écrit nécessairement comme combinaison linéaire de ses vecteurs colonnes précédents. Or je ne vois pas pourquoi ce serait le cas.

Merci pour votre aide.

Edit: J'ai simplifié ma question

Réponses

  • Code_NameCode_Name
    J'ai simplifié ma question, je ne crois pas que cela change l'affirmation.
  • MagnoliaMagnolia
    Bonjour

    Ce n'est pas vrai. Soit

    $A=\begin{pmatrix}1& 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

    $A$ est de rang 2 mais la troisième colonne n'est certainement pas combinaison linéaire des deux premières.
  • Code_NameCode_Name
    Merci, et si les $\lambda_i$ forment une famille de vecteurs orthonormés?
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Bonjour,

    Si le rang de $A$ est $<n$, alors forcément une des colonnes de $A$ est combinaison linéaire des précédentes.
  • Code_NameCode_Name
    Merci mais pourquoi?
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Considère la suite de sous-espaces emboîtés $\mathrm{Vect}(A_1,\ldots,A_i)$ pour $i$ allant de $0$ à $n$.
  • Code_NameCode_Name
    Ah oui en fait c'est évident. On a qu'un vecteur colonne $A_l$ s'écrit comme combinaison linéaire des autres. En particulier dans cette combinaison linéaire on regarde le $A_i$ avec $i$ le plus grand, puis l'isoler pour obtenir ce qu'on cherchait.
  • MagnoliaMagnolia
    Que fait-on de $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}?$
  • Code_NameCode_Name
    Bah ici le seul vecteur colonne qui s'écrit comme combinaison linéaire de l'autre est le premier, donc ça ne change rien pour mon problème car $l$ peut valoir $1$.
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