Égalité des pgcd $P\wedge(XP')=P\wedge X$
Je me permets d'ouvrir un fil spécifique pour ce lemme technique que je n'arrive pas à montrer car il s'agit d'un sujet vraiment annexe (dans lequel on s'y perd maintenant avec les différentes questions imbriquées) par rapport à un autre fil et la formule est en soit intéressante puisque je n'arrive pas à la démontrer malgré l'aide reçue et plusieurs tentatives. D'autre part, j'ai vu plusieurs corrections d'exercices où apparaît cette propriété, tous sans aucune exception l'énoncent comme une évidence alors qu'il s'agit du passage technique le plus difficile de l'exercice, le reste étant trivial (et ces trivialités sont par contre détaillées...) par rapport à ce dernier (c'est à se demander si les auteurs sont honnêtes).
Soient $\K$ un corps et $P\in\K[X]$ scindé simple. Je cherche une preuve du fait que :
[large]$$P\wedge (XP')=P\wedge X.
$$[/large] Sous les conseils de MrJ, le passage par le PGCD sous l'angle de la décomposition primaire est le plus simple. Il s'agirait de montrer que pour tout polynôme irréductible $Q\in\K[X]$, $\ \min\{v_Q(P),v_Q(XP')\}=\min\{v_Q(P),v_Q(X)\}$, en notant $v_Q$ la valuation de $Q$ dans la décomposition en question.
Pour cela, j'ai essayé de séparer les cas selon que $X$ est ou non facteur irréductible de $P$, mais après avoir pas mal cherché, je n'y arrive toujours pas.
1er cas : $X$ ne divise pas $P$.
Alors $\min\{v_Q(P),v_Q(X)\}=0$ pour tout $Q$ irréductible.
Mais pourquoi est-ce que $\min\{v_Q(P),v_Q(XP')\}=0$ ?
2e cas : $X$ divise $P$.
Traitons ici deux sous-cas :
Sous-cas 1 : $Q=X$.
Alors $v_Q(P)=v_Q(X)=1$ donc $\min\{v_Q(P),v_Q(X)\}=1$ et comme $v_Q(XP')\geqslant 1$, on a aussi $\min\{v_Q(P),v_Q(XP')\}=1$.
Sous-cas 2 : $Q\neq X$.
Alors $v_Q(X)=0$ donc $\min\{v_Q(P),v_Q(X)\}=0$.
Mais pourquoi est-ce que $\min\{v_Q(P),v_Q(XP')\}=0$ ?
PS : je ne sais pas si c'est lié, mais j'ai réussi à montrer que $P\wedge P'=1$.
Soient $\K$ un corps et $P\in\K[X]$ scindé simple. Je cherche une preuve du fait que :
[large]$$P\wedge (XP')=P\wedge X.
$$[/large] Sous les conseils de MrJ, le passage par le PGCD sous l'angle de la décomposition primaire est le plus simple. Il s'agirait de montrer que pour tout polynôme irréductible $Q\in\K[X]$, $\ \min\{v_Q(P),v_Q(XP')\}=\min\{v_Q(P),v_Q(X)\}$, en notant $v_Q$ la valuation de $Q$ dans la décomposition en question.
Pour cela, j'ai essayé de séparer les cas selon que $X$ est ou non facteur irréductible de $P$, mais après avoir pas mal cherché, je n'y arrive toujours pas.
1er cas : $X$ ne divise pas $P$.
Alors $\min\{v_Q(P),v_Q(X)\}=0$ pour tout $Q$ irréductible.
Mais pourquoi est-ce que $\min\{v_Q(P),v_Q(XP')\}=0$ ?
2e cas : $X$ divise $P$.
Traitons ici deux sous-cas :
Sous-cas 1 : $Q=X$.
Alors $v_Q(P)=v_Q(X)=1$ donc $\min\{v_Q(P),v_Q(X)\}=1$ et comme $v_Q(XP')\geqslant 1$, on a aussi $\min\{v_Q(P),v_Q(XP')\}=1$.
Sous-cas 2 : $Q\neq X$.
Alors $v_Q(X)=0$ donc $\min\{v_Q(P),v_Q(X)\}=0$.
Mais pourquoi est-ce que $\min\{v_Q(P),v_Q(XP')\}=0$ ?
PS : je ne sais pas si c'est lié, mais j'ai réussi à montrer que $P\wedge P'=1$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Dans le second cas, il ne peut pas diviser aussi $P$, et dans le premier cas non plus par hypothèse que $X\nmid P$.
Pareil pour le cas 2, le cas où $Q\neq X$ : en effet, si $Q\neq X$ et $Q\mid XP'$, alors $Q\mid P'$, donc $Q$ ne peut pas diviser $P$.
Merci Maxtimax ! :-)
\[(PQ)\wedge R = (P\wedge R)(Q\wedge R).\]
La démonstration de ce résultat est peut-être plus simple a rédiger que celle du cas particulier que tu as traité.