Bonsoir
Pour tout $k$ entier non nul, les coefficients de la matrice $C^{k}$ sont : $\begin{pmatrix}A^{k}&0\\0&(2A)^{k}\end{pmatrix}$ et comme tu connais la notion de polynômes d'endomorphisme, tu dois pouvoir conclure en utilisant les propriétés.
NB: en sachant que $C^{0}$ est la matrice identité.
@OS : conjecturons que, quel que soit l'entier naturel $n$,\[C^n=\cdots\]Pourquoi ? Comment le démontrer ?
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Une petite propriété simple à connaître/comprendre sur le même thème :
Montrer que pour tout endomorphisme $u$ d'un $\K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, toute base $\mathcal B$ de $E$ et tout $P\in\K[X]$, on a $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(P(u))=P(\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u))$.
Que peux-tu dire de l'application $\varphi_{\mathcal B}:v\in\mathcal L(E)\mapsto \mathrm{Mat}_{\mathcal B}(v)\in\mathcal M_n(\K)$ ? Le démontrer si tu ne sais pas répondre instinctivement.
Ensuite, il suffit de dérouler en écrivant $\varphi_{\mathcal B}(P(u))$ (en explicitant $P$ si ça n'est pas évident).
C'est plus qu'un isomorphisme d'espace vectoriels, c'est un morphisme d'algèbres et la raison pour laquelle la matrice M(uk) associée à l'endomorphisme uk peut s'écrire (M(u))k
Réponses
Pour tout $k$ entier non nul, les coefficients de la matrice $C^{k}$ sont : $\begin{pmatrix}A^{k}&0\\0&(2A)^{k}\end{pmatrix}$ et comme tu connais la notion de polynômes d'endomorphisme, tu dois pouvoir conclure en utilisant les propriétés.
NB: en sachant que $C^{0}$ est la matrice identité.
La matrice est diagonale par blocs donc pour élever à la puissance $k$ on élève à la puissance $k$ les matrices de la diagonale.
Or un polynôme est combinaison linéaire des $X^k$, cela termine la preuve....
Montrer que pour tout endomorphisme $u$ d'un $\K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, toute base $\mathcal B$ de $E$ et tout $P\in\K[X]$, on a $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(P(u))=P(\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u))$.
Il s'agit de montrer que $ \forall i \in [|1,n|] \ \ P(u) (e_i) = P(u(e_i))$.
Soit $i$ fixé dans $[|1,n|]$.
On a $P(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k u^k$ c'est un polynôme d'endomorphisme.
Ainsi $P\boxed{(u)(e_i) = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k u^k (e_i)}$
Par ailleurs, $P(u(e_i))=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k u(e_i)^k$
Ces expressions étant égales on a démontré le résultat.
Tu ne te rends pas compte des horreurs que tu écris ?
Elle est collector, celle-là.
Cordialement,
Rescassol
Quel sens donnes-tu à u(ei)n (n entier) ?
Je reprends. Je raisonne en colonnes :
$Mat_B( P(u))=(P(u)(e_1), \cdots, P(u)(e_n))$
$P( Mat_B(u))= P( (u(e_1), \cdots, u(e_n) )$
Mais après je ne vois pas.
Ensuite, il suffit de dérouler en écrivant $\varphi_{\mathcal B}(P(u))$ (en explicitant $P$ si ça n'est pas évident).
C'est un isomorphisme d'espaces vectoriels (cf cours de mpsi sur les matrices)
Soit $P=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k X^k$.
Alors $P(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k u^k$.
Par linéarité, $\varphi_B( P(u)) = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \varphi_B(u^k)=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k Mat_B (u^k)$
Or $ Mat_B (u^k)= Mat_B(u)^k$
Donc $\varphi_B( P(u)) = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \varphi_B ^k(u)$
Finalement $\boxed{Mat_B( P(u))=P( Mat_B (u))}$
D'accord merci.