$P$ constant donc $P'$ nul
Soit $A$ un anneau commutatif et $P\in A[X]$.
Si $P$ est constant alors $P'=0$.
La réciproque est vraie si $A$ est intègre et de caractéristique nulle.
J'ai trouvé un exemple montrant que la réciproque est fausse si on enlève l'hypothèse de caractéristique (mais on garde l'intégrité).
Toutefois, je ne trouve pas d'exemple en enlevant l'hypothèse d'intégrité et en gardant celle de caractéristique. J'ai pensé à prendre $A:=\Z^2$ qui est un candidat mais je trouve pas d'exemple de $P$ dedans.
Si $P$ est constant alors $P'=0$.
La réciproque est vraie si $A$ est intègre et de caractéristique nulle.
J'ai trouvé un exemple montrant que la réciproque est fausse si on enlève l'hypothèse de caractéristique (mais on garde l'intégrité).
Toutefois, je ne trouve pas d'exemple en enlevant l'hypothèse d'intégrité et en gardant celle de caractéristique. J'ai pensé à prendre $A:=\Z^2$ qui est un candidat mais je trouve pas d'exemple de $P$ dedans.
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Réponses
Je cherchais un exemple non intègre ET de caractéristique $0$.
Je regarde l'exemple de NoName.
Merci à vous !
Jamais je n'aurais pensé à un tel exemple. Pourtant ça paraît évident quand on "vérifie" qu'il marche.
Mais en fait bon, caractéristique $0$ c'est trompeur ici.
Je précise ma pensée quand même : tu vois bien que ce qui se passe c'est que $(aX^n)' = na X^{n-1}$, donc $P'$ va être nul si et seulement si son terme dominant est $aX^n$ et $an = 0$. Donc en fait le bon critère ou la bonne question c'est "est-ce qu'il y a des entiers diviseurs de $0$ ?" (et non pas est-ce qu'on est intègre)
Un anneau peut ne pas être intègre du tout et pourtant les entiers ne sont pas des diviseurs de $0$ (e.g. $\Z^2$, ta tentative, mais aussi $\Z[x]/(x^2)$, ...). Généralement, toute $\Q$-algèbre est un exemple de tel bidule, et il y a plein de $\Q$-algèbres non intègres.
C'est pour ça que je disais que "caractéristique $0$" c'est un peu trompeur: la caractéristique $0$, pour moi, c'est que les entiers sont inversibles (et donc en particulier avec cette définition tu n'auras pas d'exemple); j'aime pas trop la définition où on demande juste que les entiers soient non nuls
(en fait j'ai envie que "caractéristique $0$" interdise tout phénomène de type "caractéristique positive", en particulier j'ai envie d'un truc permanent, préservé par les morphismes d'anneaux. Je ne sais pas trop si cette envie est partagée, cependant)
Sinon, je dis simplement sans $\mathbb{Z}$-torsion, ou de $n$-torsion pour "de caractéristique nulle" ou de "caractéristique $n$".