Matrices et base canonique de Mn(K)
dans Algèbre
Bonjour.
J'ai un doute sur l'exercice suivant.
Démontrer que pour toute application linéaire $f$ de $M_n(K)$ dans $K$, il existe une unique matrice $A$ telle que $\forall X \in M_n(K),\ f(X)=Tr(AX)$.
Voici ce que j'ai essayé.
Posons $g_A=Tr(AX)$. Il est clair que $g_A$ est un morphisme.
Soit $\phi : M_n(K) \rightarrow L(M_n(K),K),\ A \mapsto g_A$.
$\phi$ est clairement linéaire et la dimension de son ensemble de départ et d'arrivée est la même.
Montrons que $\phi$ est injective.
Supposons $\phi(A)=0$, c'est-à-dire que $\forall X,\ g_A(X)=Tr(AX)=0$.
En appliquant ceci à $X=E_{p,q}$, on obtient assez rapidement que $A$ est la matrice nulle (je passe le détail).
Donc $\phi$ est un isomorphisme. Donc $\forall f$ de $M_n(K)$ dans $K$, il existe une unique matrice $A$ telle que $g_A=f$, ie telle que $\forall X, \ Tr(AX)=f(X)$.
Qu'en pensez-vous ? J'ai l'impression que ce n'est pas bon.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie.
J'ai un doute sur l'exercice suivant.
Démontrer que pour toute application linéaire $f$ de $M_n(K)$ dans $K$, il existe une unique matrice $A$ telle que $\forall X \in M_n(K),\ f(X)=Tr(AX)$.
Voici ce que j'ai essayé.
Posons $g_A=Tr(AX)$. Il est clair que $g_A$ est un morphisme.
Soit $\phi : M_n(K) \rightarrow L(M_n(K),K),\ A \mapsto g_A$.
$\phi$ est clairement linéaire et la dimension de son ensemble de départ et d'arrivée est la même.
Montrons que $\phi$ est injective.
Supposons $\phi(A)=0$, c'est-à-dire que $\forall X,\ g_A(X)=Tr(AX)=0$.
En appliquant ceci à $X=E_{p,q}$, on obtient assez rapidement que $A$ est la matrice nulle (je passe le détail).
Donc $\phi$ est un isomorphisme. Donc $\forall f$ de $M_n(K)$ dans $K$, il existe une unique matrice $A$ telle que $g_A=f$, ie telle que $\forall X, \ Tr(AX)=f(X)$.
Qu'en pensez-vous ? J'ai l'impression que ce n'est pas bon.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie.
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Réponses
Qu'est-ce qui ne te plait pas ?
e.v.
J'aimerais bien en savoir plus sur :
Il n'y a rien qui ne me plaît pas dans la résolution que je propose.
Seulement j'ai juste peur qu'elle ne soit pas bonne. Je me fais sûrement du souci pour rien ? Est-ce bon ?
$c_{i,i}=0$ si $i \neq q$ et $a_{p,q}$ sinon. Donc le terme $a_{p,q}$ est nul. Donc A=0
Ta démonstration me semble correcte et tu maîtrises la notion d'ev en dim finie.
Par contre il peut être intéressant d'en dire plus.
Si tu considères la base canonique de $M_n(\K)$ c'est-à-dire la base $(E_{ij}), i,j =1,\ldots,n$ ($E_{ij}$ matrices élémentaires).
Puisque $ f$ est complètement déterminée par les images $f(E_ {ij}))=u_{ij},$ quelle est la matrice $A$ en fonction de ces coeff $u_{ij}\ ?$
je dirais que $a_{i,j}=u_{j,i}$ ? D'ailleurs je me suis trompé dans mon message précédent, il me semble que j'ai oublié d'inverser p et q...
Bonne journée.
Si TOI tu n'es pas content, c'est que ce n'est pas bon, au sens où tu as peut-être sauté des étapes dont tu n'étais pas convaincu.
Il y a quand même des problèmes de notation dans le premier message, notamment $g_A=Tr(AX)$ et $\forall f \in M_n(K)$.
$ f(M) = f(\sum M(i,j)E_(i,j)) = $
$\sum M(i,j) \times f(E(i,j)) = $
$\sum_i [\sum_j \ M(i,j) \times f(E(i,j))] = tr(M\circ $
avec $\forall i,j: B(i,j) := f(E(j,i))$.
La définition de $(X\circ Y)(i,j)$ étant $\sum_k\ X(i,k)Y(k,j)$
Or $P\in\R[X]\mapsto XP\in\R[X]$ est également linéaire, injective avec les espaces de départ et d'arrivée de dimensions égales. Mais elle n'est pas surjective, par exemple parce que $X$ ne divise pas $1$.