Endomorphismes nilpotents commutant
Bonsoir,
Montrer que pour toute famille $(u_1, \cdots, u_n)$ d'endomophismes nilpotents commutant deux à deux, d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, on a : $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n=0$
Je ne comprends pas comment obtenir la dernière ligne. Toujours autant de mal avec les endomorphismes induits.
Montrer que pour toute famille $(u_1, \cdots, u_n)$ d'endomophismes nilpotents commutant deux à deux, d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, on a : $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n=0$
Je ne comprends pas comment obtenir la dernière ligne. Toujours autant de mal avec les endomorphismes induits.
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Réponses
Si je ne lis que ce que OShine a écrit, j'en déduis que la composée de $n$ fois l'identité est nulle.
Cordialement,
Rescassol
Edit: C'est sûr, en rajoutant la nilpotence, ça va mieux, tu aurais pu t'en apercevoir plus tôt.
Il ne manque pas la nilpotence ?
Par composition, on a $v=u_1 ' \circ \cdots \circ u_{n-1} ' \in Im(u_n)$.
Donc $\forall y \in Im(u_n)$ on a $v(y)=u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_{n-1} (y)=0$
Mais $y \in Im(u_n)$ donc il existe $x \in E$ tel que $y=u_n(x)$
Donc il existe $x \in E$ tel que $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_{n-1} \circ u_n(x)=0$
Mais je ne l'ai pas démontré $\forall x \in E$ :-S
Tu veux montrer un truc qui commence par "quel que soit $x$" donc tu commences par "soit $x$" et tu laisses défiler, c'est complètement immédiat.
Soit $x \in E$.
L'égalité $u_1 ' \circ u_2 ' \circ \cdots \circ u_{n-1} '=0$ c'est valable que pour $x \in Im(u_n)$ donc je ne vois pas comment continuer avec $x \in E$ quelconque.
Pour tout $x=u_n(x')\in\Im(u_n)$, on a $u_1 ' \circ u_2 ' \circ \cdots \circ u_{n-1} '(x)=0$.
Comment va-t-on bien pouvoir conclure ? ::o
@Poirot merci j'ai suivi ton conseil et ça fonctionne (tu)
Soit $x \in E$.
On a $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n(x)=u_1 \circ u_2 \circ \cdots u_{n-1} ( u_n(x))$
Posons $y=u_n(x) \in Im(u_n)$.
Alors $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n(x)=u_1 \circ u_2 \circ \cdots u_{n-1} (y)$
Mais $\forall y \in Im(u_n)$ on a $u_i(y)=u_i '(y)$ pat définition d'un endomorphisme induit.
Donc $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n(x)= u_1 ' \circ u_2 ' \circ \cdots u_{n-1} ' (y) =0$
On a montré $\boxed{\forall x \in E \ \ u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n(x)=0}$
Je vois que la notion d'endomorphisme induit à une importance fondamentale dans la réduction. J'ai toujours eu du mal avec cette notion, je dois encore la travailler.
Pas du tout.
Ce qui a une importance, c'est la relation de la preuve intuitive à la preuve rédigée. Donc la sincérité (et un peu de formalisme).
Comme tu essaies d'obtenir des preuves rédigées sans considérer les sujets "dignes d'être pensés par toi, avant, de façon intuitive ET PERSONNELLE", tu joues au collecteur et classificateur de hiéroglyphes.
Tu viens de faire une découverte : un perceptron ne progresse pas en maths. Ce n'est pas "de la programmation linéaire" faire des maths. Tu es une des rares personnes au monde à en apporter une preuve expérimentale consistante en items variés.
Ici le résultat est EVIDENT par récurrence du fait que:
$$ [\forall x: (u_1\circ \dots \circ u_8 )\ (u_9(x)) = 0] \to [u_1\circ \dots u_9=0])$$
et $F:=dim(Im(u_9))<dim(E)$ et chaque $u_i: F\to F$, est nilpotent
.. à la condition d'initialiser.
La notion de machin induit est effectivement snob telle que présentée dans ta phrase précédente. Cela dit, j'ai utilisé le fait que
$$ \forall x\in F: u_4 (x)\in F$$
par exemple, qui lui "n'est pas snob", et nécessite d'être justifié. Mais ce n'est pas une question de vocabulaire.
Ici les $u_k$ sont nilpotents il existe $p_k$ entier tel que $u_k^{p_k}=0$ (1)
Existe-t-il une preuve utilisant (1) et des polynômes ?
Du genre des polynômes $Q_j(X_1,...,X_n)$ à plusieurs variables tel que $u_1o...ou_n = \sum_{j=1}^{t}Q_j(u_{1}^{a_1.p_1}, ...,u_{n}^{a_n.p_n})$
avec
$ X_1X_2...X_n = \sum_{j=1}^{t} Q_j(X_1^{a_1},...,X_n^{a_n})$ avec $Q_j(0,...,0)=0$
et les $a_j\geq p_j$ , $a_j$ entiers. ?
> je n'ai jamais étudié les polynômes à plusieurs variables.
Et alors ? Si tu te contentes d'étudier ce que tu as déjà étudié, tu ne risques pas d'avancer.
Cordialement,
Rescassol
Manger 3.28 kilos de feuilles de papier ne change rien à l'appropriation de ces 2 lignes triviales.