Anneau d'entiers principal

Merci beaucoup.

noix de totos, (je cite mon cours), dans un corps quadratique, si $p$ premier est diviseur premier du discriminant, alors $p$ ramifie dans le corps quadratique, et $(p)= \mathfrak{p}^2$.
Donc $N(\mathfrak{p}^2)=N(\mathfrak{p})^2=N((p))=N(p)=p^2$, donc $N(\mathfrak{p})=\pm p$ ?

Ah je crois que mon erreur vient de là (la norme de l'idéal premier n'est pas forcément $p$, j'ai eu la flemme, et une norme n'est pas forcément positive) : l'équation $x^2-7y^2=-7$ possède la solution $(21,8)$, donc $\mathfrak{p}=(21+8 \sqrt{7})$ !

Non ça ne va pas, mon cours dit que cet idéal premier est de norme $p$, je vais relire vos messages.

gai requin, donc tu ne trouves pas d'idéal premier de norme $7$ dans $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$ ?

gai requin, ah oui, merci beaucoup pour cette remarque, la norme d'un idéal $\mathfrak {a}$ non nul d'un ordre $\cal {O}$ est le cardinal de $\cal {O} / \mathfrak {a}$ !

Donc il a suffi de trouver un élément de norme $-7$, $\sqrt{7}$, et on trouvé un idéal $(\sqrt{7})$ de norme $|-7|=7$.

Maintenant, qu'est-ce qui prouve que $(\sqrt{7})$ est premier ? On a $(\sqrt{7})^2=(7)$, mais cela ne suffit pas.

Je dois y aller.

gai requin, je suppose que les idéaux premiers de $\mathbb Z[\sqrt 7]$ au-dessus de $19$, veut dire la décomposition de $(19)$ comme produit d'idéaux premiers de $\mathbb Z[\sqrt 7]$.
Vu que $19$ est impair et ne divise pas le discriminant $28$ de $\mathbb Q(\sqrt 7)$, et que celui-ci est un carré dans $\mathbb{F}_{19}^{\times}$, alors il existe deux idéaux premiers distincts $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{q}$ tels que $(19)=\mathfrak{p} \mathfrak{q}$ (je crois qu'on dit que $(p)$ se décompose dans $K$ ?), et on a alors $N(\mathfrak{p})=N(\mathfrak{q})=19$.

Il n'existe pas d'élément de norme $19$ dans $\mathbb Z[\sqrt 7]$, mais il en existe de norme $-19$ : par exemple $3+2\sqrt{7}$ et $18+7\sqrt{7}$, ils engendrent donc des idéaux premiers.
Là je ne comprends plus, car la norme de ces deux éléments étant $-19$, la norme de leur quotient est $1$, donc leur quotient est inversible, autrement dit ils engendrent le même idéal (et même si on avait trouvé deux éléments de norme $19$ et $-19$, leur quotient aurait été inversible). Du coup, je ne vois pas comment trouver deux idéaux premiers distincts de norme $19$.

gai requin, ok pour $5$ inerte dans $\mathbb Q(\sqrt 7)$ (car $28=3$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{5}^{\times})$.
Pour l'autre affirmation, je l'ai vue en cours : $\mathbb Z[\sqrt 7]/(5) \simeq \mathbb F_{5}[X]/(f)$ où $f$ est le polynôme minimal de $\sqrt{7}$ sur $\mathbb{Q}$, qui est de degré $2$, donc on obtient une extension de degré $2$ sur $\mathbb{F}_{5}$, soit $\mathbb{F}_{25}$.

Super merci pour tes exercices, qui me permettent de mettre en pratique la théorie.

En fait, ce que j'ai du mal à comprendre, c'est comment on en est venu à s'intéresser à l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres. Par exemple, quel est l'anneau des entiers de $\mathbb{Q} (\sqrt[3] {2}$) ?

Avec $d=5$, l'anneau des entiers de $K=\mathbb Q(\sqrt 5)$ est $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$ qui est aussi un anneau principal (d'après Wiki). Alors $\Delta = 5$.

$p$ ramifie dans $K$ seulement dans le cas $p=5$ : $(5)=(5+2 \sqrt{5})(5-2 \sqrt{5})=(5+2 \sqrt{5})^2$.
$2$ est inerte. Par exemple, $11$ est décomposé : $(11)=(4+ \sqrt{5})(4-\sqrt{5})$.

En fait, cela ne parait pas plus compliqué dans ce cas. Le cas qui parait plus compliqué est quand l'anneau des entiers n'est pas principal. Le plus petit entier positif qui le vérifie est $\mathbb Q(\sqrt {15})$ (toujours d'après Wiki). Dans ce cas, on ne peut a priori pas trouver les idéaux premiers de norme $p$ en cherchant un élément de norme $\pm p$ (dans le cas $d=15$ et $p=2$ ou $5 \mid \Delta=60$ par exemple, il n'existe d'élément de norme $\pm 2$ ou $\pm 5$ dans $\mathbb Z[\sqrt {15}]$ l'anneau des entiers). Pour une prochaine fois !