Sous-groupe

Ignotus · April 2021

Bonjour , j'ai une question concernant la caractérisation des sous-groupes :
Soit $G$ un groupe muni d'une loi $*$ et $\mathbb{H}$ non vide inclus dans $G$, pour montrer que $\mathbb{H}$ est un sous-groupe en utilisant la caractérisation des sous-groupes, j'ai dans mon cours qu'on démontre que $\forall x,y \in \mathbb{H},\ x*y^{-1} \in \mathbb{H}$ avec $y^{-1}$ une notation pour le symétrique de $y$ dans $G$.

Doit-on pas d'abord vérifier que le symétrique appartient à $\mathbb{H}$ ?
Merci

raoul.S · April 2021

Non car à partir de $\forall x,y \in \mathbb{H}, x*y^{-1} \in \mathbb{H}$ on déduit que $y^{-1}\in \mathbb{H}$ pour tout $y\in \mathbb{H}$.

Magnolia · April 2021

Bonjour

D'abord, pour utiliser ce critère il faut vérifier que $H\neq \emptyset.$ La plupart du temps, mais pas toujours, on montre que $H$ contient l'élément neutre.

Réponse à ta question: Si tu prends $y=x$ tu trouves $x*x^{-1}=e\in H$, puis $e*x^{-1}\in H$

Thierry Poma · April 2021

Bonjour Ignotus

Tu dois montrer ceci

$F\ne\emptyset$ (ce qui est déjà supposé dans ton introduction !)
$(\forall\,x)(\forall\,y)((x,\,y)\in{}F\Rightarrow{}x\star{}y^{\star-1}\in{}F)$

où $y^{\star-1}$ est le symétrique dans $G$ de $y$ pour la loi interne $\star$. C'est tout ! En règle générale, pour justifier que $F\ne\emptyset$, l'on vérifie que $e_G\in{}F$, où $e_G$ est le $\star$-neutre de $G$.