Autour du polynôme minimal
dans Algèbre
La démonstration suivante est-elle correcte ?
Toute matrice nilpotente non nulle n'est pas diagonalisable.
En effet si A était nilpotente, alors il existe un entier naturel p >= 2 tel que Ap= 0 et Ap-1 <>0
en d'autres termes, Xp est un annulateur de A alors que xp-1 n'est pas un annulateur
le polynôme minimal est donc Xp lequel n'est pas scindé simple d'où la non diagonalisibilité de A.
Toute matrice nilpotente non nulle n'est pas diagonalisable.
En effet si A était nilpotente, alors il existe un entier naturel p >= 2 tel que Ap= 0 et Ap-1 <>0
en d'autres termes, Xp est un annulateur de A alors que xp-1 n'est pas un annulateur
le polynôme minimal est donc Xp lequel n'est pas scindé simple d'où la non diagonalisibilité de A.
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Réponses
Oui, c'est correct.
Plus simple, on peut montrer directement qu'une matrice nilpotente a 0 pour seule valeur propre, donc la seule nilpotente diagonalisable est la matrice nulle.