Thème de réflexion pour agrégatifs
Question posée à l'oral de l'agrég en 2022 (;-)) : si $E$ est un $\C$-ev de dimension $5$, existe-t-il un endomorphisme $u$ de $E$ dont le centralisateur (ou commutant) ${\mathfrak z}(u)$ soit de dimension $9$ et isomorphe comme algèbre à $M_3(\C)$ ?
Humble requête à MM. les grosses pointures du forum : laissez une chance aux agrégatifs de répondre.
Humble requête à MM. les grosses pointures du forum : laissez une chance aux agrégatifs de répondre.
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Réponses
J'examinerais un aspect intéressant de la question.
Un élément non inversible du commutant est-il produit de deux éléments non inversibles ?
Yvette, qui vous souhaite un bel après-midi
Édit : Dans l’exemple de Guego, il me semble que l’on peut exhiber une matrice dans le commutant dont le polynôme minimal est de degré 5.
Cela dit, effectivement, j'aurais dû omettre la restriction à cette valeur de la dimension. (td)
Ayant battu ma coulpe, je propose ma solution, que guego a dispersée façon puzzle : Tous les éléments du commutant laissent stable un sev propre $F$ de $u$, qui est donc non trivial. Avec un tel choix, l'ensemble $\cal I$ des éléments du commutant qui induisent sur $F$ l'endomorphisme nul est un idéal bilatère non trivial du commutant. Ce n'est donc pas une algèbre de matrices. On doit aussi pouvoir vérifier que les formes linéaires $tr$ et $tr(u\times\cdot)$, qui sont centrales, ne sont pas proportionnelles
On suppose $n\geq 2$ et on cherche un sous-ensemble de $M_n(\R)$ qui soit (1) une base, (2) multiplicativement clos.
Une telle base $\mathcal{B}$ formerait un semi-groupe (possiblement sans unité), tel que son algèbre de semi-groupe $\R[\mathcal{B}]$ soit simple, avec une seule classe d'isomorphisme de représentations irréductibles (de dimension $n$). Or un semi-groupe a toujours une représentation irréductible de dimension $1$ ($b\mapsto 1$, pour tout $b\in\mathcal{B}$), indépendemment du corps de base. Donc ce qu'on cherche n'existe pas.
Si $\{v_i: i=1,...,n\}$ est la base canonique de $\C^n$, $\zeta\in\C$ une racine primitive $n$-ième de $1$, $A$ et $B$ les matrices respectives des applications linéaires définies par $v_i\mapsto \zeta^i v_i$, et $v_i\mapsto v_{i+1 \bmod (n)}$ ($A$ est diagonale et $B$ est cyclique), alors:
$A$ et $B$ satisfont les relations $AB=\zeta BA$, $A^n=B^n=1_n$.
De plus, $\{A^iB^j: i,j=1,...n\}$ est une base de $M_n(\C)$ qui satisfait $A^iB^j\cdot A^kB^l = \zeta^{-jk}A^{i+k}B^{j+l}$ (indices pris modulo $n$).
(Je prétends que c'est une base mais il faudrait le démontrer; ceci dit, c'est connu. L'algèbre abstraite engendrée par $X$, $Y$ avec les relations $XY=\zeta YX$, $X^n=1$, $Y^n=1$, est isomorphe à $M_n(\C)$, et un isomorphisme possible est donné par $X\mapsto A$ et $Y\mapsto B$).
christophe c : en combien de versements, les 50 000 euros ?
yvette : EEG plat ?
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Un autre thème de réflexion, encore un peu brumeux pour moi : si $u$ est un endomorphisme (dimension finie), l'ensemble des crochets de Lie des éléments de ${\mathfrak z}(u)$ est-il un espace vectoriel ? contient-il $u$ lui-même ? (pour cela, il faut que $u$ soit nilpotent, mais cela ne suffit pas car le commutant peut être... commutatif). Là, je n'ostracise pas les grosses pointures car toutes les lumières seront bienvenues.
1) Si $u$ est cyclique, ${\mathfrak z}(u)=\R[ u]$ et son ensemble des crochets de Lie est $\{0\}$.
2) Sinon, $u$ est une homothétie et l'ensemble des crochets de Lie de ${\mathfrak z}(u)$ est l'espace vectoriel des endomorphismes de trace nulle.
Dans tous les cas, ${\mathfrak z}(u)$ est un espace vectoriel qui contient $u$ ssi $u=0$.
Il pensait peut-être à une pseudo-base comme celle de i.zitoussi.
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gai requin : j'ai fait quelques essais moi aussi en petite dimension. Par exemple, en dimension $3$, le cas où $M$ est la matrice canonique $E_{1,2}$ représente le cas d'un endomorphisme nilpotent de rang $1$ ; dans ce cas, $M$ est le crochet de $E_{1,3}$ et de $E_{3,2}$.
En dimension $4$, $M=E_{1,2}+E_{3,4}$ représente le cas d'un endomorphisme de rang $2$ et de carré nul ; dans ce cas, $M$ n'est pas un crochet car ils sont tous de la forme $\begin{pmatrix}A&B\\C&-A\end{pmatrix}$ par blocs.
Note : j'arrive à finir l'exo sans injectivité (il n'y a pas des masses de morphismes d'algèbres $M_n(\R)\rightarrow \R$), mais je suis curieux de savoir ce que j'ai raté.