Groupe de Galois sur $\mathbb Q_2$

$\newcommand{\A}{\mathfrak{A}}$Je vends la mèche...

Le résolvent $\mathcal{R}$ sur $\S_4$ associé à $P$ et à $X_1X_2+X_3X_4$ est donné par $\mathcal{R} = X^3-8X+4$, qui n'a pas de racine entière, de sorte que $\Gal(P/\mathbb{Q}) \simeq \S_4$ ou $\A_4$. Comme $\textrm{disc}(P) = 2^4 \times 101$ n'est pas un carré dans $\mathbb{Q}$, on a $\Gal(P/\mathbb{Q}) \simeq \S_4$.

Bonjour,

Le critère de Noix de Totos s'applique à tout élément irréductible de $\mathbb K[X]$ de degré $4$, où $\mathbb K$ est un corps de caractéristique différente de $2$ et de $3$.
Or $P$ est irréductible dans $\Q_2[X]:\quad$ Sinon: $\:\: P =ST\:\:$ avec $S,T\in \Z_2[X]\:\:\text{unitaires, non constants.}$.
En considérant le morphisme canonique d'anneaux $\Z_2[X] \to \mathbb F_2[X], \:\: P\mapsto \overline P,\:\: $on obtient: $\:\:\overline{X^4} =\overline S \overline T,\:\:$ puis:
$X^4-2X+2 = (X^r+2U)(X^s+ 2V), \:\:\: r,s \in \N^*, \quad U,V \in \Z_2[X], \qquad 2 =4U(0)V(0),\:\: $ ce qui constitue une impossibilité.

$\bullet\:\:$ Le polynôme résolvant $X^3- 8X +4$ est irréductible dans $\Q_2[X]$ car il n'admet pas de racine dans $\Z_2.\quad$ En effet:
Si $\exists a\in \Z_2\ $ tel que $\:\: a^3 -8a+4 =0,\: $ alors ::$ \quad \mathcal V_2(a)\geqslant 1,\quad \mathcal V_2(4) = \mathcal V_2(8a-a^3) \geqslant 3, \:\:$ ce qui est encore contradictoire.

$\bullet \:\: \:\text{disc}(P)= 2^4\times 101$ n'est pas un carré dans $\Q_2$ car $101 \not\equiv 1 \mod 8.$

Ces deux derniers points font que le groupe de Galois $G$ de $P$ sur $\Q_2$ est $\mathfrak S_4.$ Il n'est pas difficile d'en détailler une justification:

Soient $\mathbb L$ le corps de décomposition de $P(X) = (X-a)(X-b)(X-c)(X-d)$ sur $\Q_2, \quad n =[\mathbb L:\Q_2]= \#G.$
$P$ est irréductible sur $\Q_2$ donc $[ \Q_2(a):\Q_2] =4, \quad n \equiv 0 \mod 4.\qquad $ Soient: $ \:u = ab +cd, \:v =ac+bd, \: w =ad + bc.$
$ X^3 -8X+4 = (X-u)(X-v)(X-w)$ est irréductible dans $ \Q_2[X]$, donc $[ \Q_2(u):\Q_2] =3, \quad n \equiv 0 \mod 3.$
Ainsi: $n \equiv 0 \mod 12, \quad G = \mathfrak S_4$ ou $\mathfrak A_4.\quad$ Supposons $G= \mathfrak A_4.\:\:$ Soit $\:d=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$
$G= \mathfrak A_4.\:\:$ donc $ \:\forall \sigma \in G,\:\: \sigma(d) =d,\quad d\in \Q_2$, et cela contredit le fait que $d^2 =2^4\times 101.$