Endomorphisme symétrique
Bonjour
Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ euclidien, on montre facilement que $\ker(u)$ et $\mathrm{Im}(u)$ sont supplémentaires dans $E$. Cela veut dire que si $x$ appartient à $E$, alors $x$ s'écrit de façon unique $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in \ker(u)$ et $x_2\in \mathrm{Im}(u)$.
Peut-on déterminer explicitement $x_1$ et $x_2$, si possible sans utiliser que $u$ est diagonalisable ?
Merci d'avance,
Michal
Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ euclidien, on montre facilement que $\ker(u)$ et $\mathrm{Im}(u)$ sont supplémentaires dans $E$. Cela veut dire que si $x$ appartient à $E$, alors $x$ s'écrit de façon unique $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in \ker(u)$ et $x_2\in \mathrm{Im}(u)$.
Peut-on déterminer explicitement $x_1$ et $x_2$, si possible sans utiliser que $u$ est diagonalisable ?
Merci d'avance,
Michal
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Réponses
Dans le premier cas, $x_1 = 0, x_2 = x$
Dans le second cas, tu peux écrire une relation de Bézout $XU + QV = 1$ (il te suffit en fait de prendre $U = \frac{Q(0)-Q}{Q(0)X}$ et $V = \frac{1}{Q(0)}$) et alors $x_2 = (U(u)u)(x)$ et $x_1 = Q(u)V(u)(x)$ conviennent
Il serait bon que tu précises ta demande dans ce genre de situation car plusieurs personnes peuvent te lire comme suit :
(1) "on montre facilement A"
(2) "Ma question est : est-il facile de montrer A?"
C'est surtout (1) (tu as été plus précis pour (2)). Qu'appelles-tu "facilement" dans (1), vu que sinon, on est tenté de te dire "bin suis (suivre) (1)".