Schémas et géométrie

Ouais, on pourrait faire ca.
Et on pourrait développer une géométrie de ces objets là, et on l'appellerait géométrie algébrique.
Ca va cartonner ca, je pense. :-D

Je ne comprends pas ta question.
Les schémas ont été inventés pour (entre autres choses) parler des variétés algébriques, et l'immense majorité des variétés algébriques auxquelles on s'intéresse sont les variétés quasi-projectives.
Tous les théorèmes classiques sur les variétés algébriques ont une version schématique.

On n'a pas inventé les schémas ex-nihilo. Le but c'était de pouvoir mieux parler des variétés algébriques, donc des lieux d'annulations de familles de polynômes dans l'espace affine ou projectif.

Mais... les variétés algébriques c'est exactement les "figures géométriques".
Les droites, les paraboles, les hyperboles, les cones, les cercles, les quadriques, les cubiques etc, tout ca c'est des variétés algébriques.

708 : ça m'intéresse, tu fais ça comment ? je veux dire, sans que les calculs soient exactement les mêmes que sans schémas
(j'imagine un calcul du genre $k[x,y]/(x^2+y^2-1)\otimes_{k[x,y]} k[x,y]/(ax+by)$ et j'imagine que le calcul pour déterminer cet anneau revient exactement aux calculs usuels)

Pour changer de la tarte à la crème, les 27 droites sur une surface cubique lisse. On peut prouver grave à la théorie des schémas (enfin le théorème avait été plus ou moins prouvé avant Schubert mais la géométrie énumérative à longtemps manqué de fondations rigoureuses), qu'il y a 5,819,539,783,680 cubiques twistées tangentes à 12 quadriques en positions générales. Ou encore pour une surface cubique lisse fixée il y a 12 plans tangents à la surface contenant une droite générique fixée.

Ces exemples sont issus du (magnifique) livre de théorie de l'intersection d'Eisenbud et Harris.

Pour l'intersection du cercle et d'une droite, je sais pas si ca compte comme la même chose que le "calcul classique", mais "sans calcul" (avec $b\neq 0$ quitte à échanger $x$ et $y$) on voit que $\text{dim}_k k[x]/(x^2+(-b/ax)^2+1)=2$ donc pas plus de deux points dans l'intersection. Apres c'est quasiment le "calcul classique", même si de mon point de vue c'est un poil diffèrent: on ne résout pas explicitement $x^2+(-b/ax)^2+1=0$, on se contente de remarquer que le degré $2$ force l'anneau $k[x]/(x^2+(-b/ax)^2+1)$ a ne pas avoir plus de deux ideaux maximaux. Enfin c'est quasi la même chose. :-D


Sinon plus bêtement, si on a pas peut d'utiliser un marteau pilon, le théorème de Bezout assure que le nombre de points dedans est plus petit que 2. Ou utiliser la formule d'adjonction pour s'assurer que le cercle restreint à la droite reste de degré 2. :-D

Je crois qu'on peut déduire le théorème de Ménélaüs en regardant trois droites comme une cubique singulière et en raisonnant sur son groupe de Picard (mais je n'avais pas lu les détails).