Sous-espace stable et supplémentaire
Bonsoir,
J'ai des difficultés sur cette question. J'ai commencé le raisonnement mais je bloque au milieu de la récurrence.
Soit $E$ un $\K$ espace vectoriel non nul.
En effectuant une récurrence sur la dimension de $E$, montrer que si $\K=\C$ et si tout sous-espace de $E$ stable par $f$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $f$, alors $f$ est diagonalisable.
Posons $n= \dim E$ et effectuons une récurrence sur $n \in \N^{*}$ car $E$ est non nul.
Initialisation :
Au rang $n=1$, $E$ est une droite vectorielle donc tous les endomorphismes de $E$ sont des homothéties, ils sont donc diagonalisables.
Hérédité :
Supposons que la propriété est vraie pour un certain $n$ fixé avec $\dim E=n$.
Considérons un $\C$ espace vectoriel $E$ de dimension $n+1$ et un endomorphisme $f$ de $E$ tel que tout sous-espace de $E$ stable par $f$ admet un supplémentaire.
Le corps est $\C$ donc $\chi_f$ possède une valeur propre donc un vecteur propre associé. On pose $F=Vect(x)$ qui est un sous-espace de $E$ stable par $f$ et qui admet un supplémentaire de dimension $n$ qui est un hyperplan de $E$. Notons le $H$. On a donc $E= Vect(x) \oplus H$
Or $\dim \ H=n+1-1=n$. L'idée est d'appliquer l'hypothèse de récurrence à l'ensemble $H$. Pour cela, il faut montrer que tout sous-espace de $H$ stable par $f_H$ admet un supplémentaire dans $H$ stable par $f_H$.
Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $H$ stable par $f_H$. On a $f_H(G) \subset G$.
Je bloque ici.
J'ai des difficultés sur cette question. J'ai commencé le raisonnement mais je bloque au milieu de la récurrence.
Soit $E$ un $\K$ espace vectoriel non nul.
En effectuant une récurrence sur la dimension de $E$, montrer que si $\K=\C$ et si tout sous-espace de $E$ stable par $f$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $f$, alors $f$ est diagonalisable.
Posons $n= \dim E$ et effectuons une récurrence sur $n \in \N^{*}$ car $E$ est non nul.
Initialisation :
Au rang $n=1$, $E$ est une droite vectorielle donc tous les endomorphismes de $E$ sont des homothéties, ils sont donc diagonalisables.
Hérédité :
Supposons que la propriété est vraie pour un certain $n$ fixé avec $\dim E=n$.
Considérons un $\C$ espace vectoriel $E$ de dimension $n+1$ et un endomorphisme $f$ de $E$ tel que tout sous-espace de $E$ stable par $f$ admet un supplémentaire.
Le corps est $\C$ donc $\chi_f$ possède une valeur propre donc un vecteur propre associé. On pose $F=Vect(x)$ qui est un sous-espace de $E$ stable par $f$ et qui admet un supplémentaire de dimension $n$ qui est un hyperplan de $E$. Notons le $H$. On a donc $E= Vect(x) \oplus H$
Or $\dim \ H=n+1-1=n$. L'idée est d'appliquer l'hypothèse de récurrence à l'ensemble $H$. Pour cela, il faut montrer que tout sous-espace de $H$ stable par $f_H$ admet un supplémentaire dans $H$ stable par $f_H$.
Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $H$ stable par $f_H$. On a $f_H(G) \subset G$.
Je bloque ici.
Réponses
-
Si tu ne bloquais pas, cet exercice serait donné en sixième (au langage abstrait près).
Tu as épuisé ton droit à "un coup de téléphone". Tu dois maintenant tenter de "regarder en toi" plutôt qu'à l'extérieur.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour,
> Le corps est $\mathbb{C}$ donc $\chi_f$ possède une valeur propre donc un vecteur propre associé.
Pourquoi un ?
Et qui te dit que le sous espace propre associé à ta valeur propre est de dimension $1$ ?
Cordialement,
Rescassol -
Ce n'est pas forcément très sympa de vous moquer de ceux qui n'y arrivent pas.
Juste, tu peux te poser des questions simples :
Quel rapport entre les sous-espaces stables par $f_H $ et par $f$ ?
Que l'hypothèse faite sur $f$ t'append-elle sur $G$ ?
Que peux tu dire de l'intersection de deux sous-espaces stables par $f$ ?
Que peux-tu dire de l'intersection avec $H$ d'un supplémentaire de $G$ dans $E$ ?
Si tu réponds à toutes ces questions, tu devrais y arriver. -
Rescassol
Je voulais dire "au moins"
Christophe c
Il y a des exercices plus ou moins simples. Celui-ci est difficile et ce n'est pas moi qui le dit, mais un rapport de jury.
Frédéric Bosio
1) En général on ne peut rien dire entre les sous-espaces stables par $f_H$ et par $f$ non ?
Ici comme $G \subset H$ donc $\forall x \in G \ f_H=f$. Donc $f_H(G) \subset G \implies f(G) \subset G$.
Ainsi, $G$ admet un supplémentaire $K$ dans $E$ stable par $f$ d'après l'hypothèse de récurrence.
On a que $E=G \oplus K$.
Que peut-on dire de $K \cap H$ ? C'est un supplémentaire de $G$ dans $H$. Montrons ce résultat :
Soit $x \in E$. Il existe un unique couple $(x_1,x_2) \in G \times K $ tel que $x=x_1+x_2$.
Donc $\forall x' \in E \cap H$ il existe un unique couple $(x_3,x_4) \in G \cap H \times K \cap H$ tel que $x'=x_3+x_4$ avec $G \cap H=G$ et $E \cap H=H$.
On a donc montré que $K \cap H$ est un supplémentaire de $G$ dans $H$. Il est stable par $f_H$. Donc $f_H$ est diagonalisable.
Donc il existe une base de $H$ formé de vecteurs propres qu'on peut noter $(e_1, \cdots, e_n)$.
Il faut montrer que $(e_1, \cdots, e_n,x)$ est une base de $E$ de vecteurs propres.
On a $E= Vect(x) \oplus H$ donc $(e_1, \cdots, e_n,x)$ est une base adaptée à la somme directe.
Donc $f$ est diagonalisable.
En espérant ne pas avoir dit de bêtises. -
Non, ca ne fonctionne pas.
-
Qu'est ce qui ne fonctionne pas ?
-
Ben... ta preuve pardi.
-
Je pense que l'endroit où mon raisonnement faux c'est le passage où je démontre que si $K$ est un supplémentaire de $G$ dans $E$ alors $K \cap H$ est un supplémentaire de $H$ dans $E$.
Je n'ai jamais étudié ce résultat avant dans aucun livre.
Pour le reste je ne vois pas d'erreurs. -
Si $K$ est un supplémentaire de $G$ dans $E$ alors $H\cap K$ est bien un supplémentaire de $G$ dans $H$
Mais ceci
n'en est pas une démonstration.Donc $\forall x' \in E \cap H$ il existe un unique couple $(x_3,x_4) \in G \cap H \times K \cap H$ tel que $x'=x_3+x_4$ avec $G \cap H=G$ et $E \cap H=H$. -
Tiens question. Soit E un ev et K et H des sevs de E. A quelle CNS K inter H et H sont supplémentaires dans E?
-
Est-ce une vraie indication?Si $K$ est un supplémentaire de $G$ dans $E$ alors $H\cap K$ est bien un supplémentaire de $G$ dans $H$ -
Ben... oui. Je rappelle que $G$ est inclus dans $H$.
-
Je me dis que si l'on prend un supplémentaire $K$ (quelconque) de $G$ dans $E$ il y a des chances que $H\cap K$ soit réduit à $\{0\}$.
Mais j'aimerais bien que tu éclaires ma lanterne. -
Oui Raoul.S merci de ne pas donner la réponse, je suis en train de chercher à démontrer le résultat.
-
J'ai éclairé la lanterne de nahar en MP.
-
Bonjour,
OShine écrivait :
> Le corps est $\C$ donc $\chi_f$ possède une valeur propre donc un vecteur propre associé.
Juste une remarque : il y a un problème de vocabulaire dans cette phrase. $\chi_f$ est un polynôme, il n'y a pas de sens de dire qu'il a une valeur propre. Je pense que tu voulais dire quelque chose de différent. -
Bonjour
Est-il nécessaire de faire une récurrence?
Si E est de dimension n, on considère une suite $(e_1,...,e_p)$ de vecteurs propres indépendants de f tel que p soit le plus grand possible. Comme $K=\C,$ on a $p\geq 1.$
Si $p<n,$ $H=vect(e_1,...,e_p)$ est stable par f et un supplémentaire G de H est (par hyp.) stable aussi. G n'est pas réduit au vecteur nul et alors $f_G$ admet au moins un vecteur propre $e_{p+1}$ qui est aussi un vecteur propre de f. De plus $e_{p+1}$ serait indépendant de la famille $(e_1,...,e_p)$. Mais ceci n'est pas possible. -
Supposons que $E=G \oplus K$ avec $G \subset H$.
Montrons que $H=G \oplus (H \cap K)$
Une condition nécessaire est suffisante est de montrer que :
1) $H=G+ (H \cap K)$
2) $G \cap (H \cap K)= \{0 \}$
Montrons 2).
Soit $z \in G \cap (H \cap K)$. Alors $z \in (G \cap K )\cap K$. Mais $(G \cap K )\cap K = \{0 \} \cap K = \{0 \}$
Donc $z=0$.
Un intersection de sous-espace vectoriel étant un sous-espace vectoriel, l'inclusion réciproque est vérifiée car le vecteur nul appartient à tout sous-espace vectoriel.
Montrons 1)
Soit $y \in G+ (H \cap K)$. Alors $y= y_1 + y_2$ avec $y_1 \in H$ et $y_2 \in H$. D'où $y \in H$ par stabilité.
Réciproquement, soit $y \in H$. Je n'arrive pas ici à montrer que $H \subset G + (H \cap K)$ -
Axelis
Oui $\chi_f$ possède une racine plutôt.
Bd_2017
Non, le rapport dit qu'il y a une méthode plus rapide en utilisant les sous-espaces propres. Mais je voulais faire la méthode de la récurrence pour m'entraîner.
"On pouvait éviter la récurrence en considérant la somme $F$ de tous les sous-espaces propres de $F$ et introduire la restriction de $f$ à un supplémentaire stable par $F$, pour en déduire que ce supplémentaire est nul."
J'essaierai peut être cette deuxième méthode quand j'aurais rectifié mes erreurs dans la première. -
Remarque: je n'ai pas utilisé les sous espaces propres!Oshine a écrit:> Réciproquement, soit $y \in H$. Je n'arrive pas
> ici à montrer que $H \subset G + (H \cap K)$
Franchement, si tu n'as que ça à démontrer et que tu n'y arrives pas
alors laisse tomber les maths... En effet ce n'est pas possible en cherchant un peu de ne pas y arriver. -
OShine a écrit:Je n'arrive pas ici à montrer que $H \subset G + (H \cap K)$
c'est normal si tu n'exploites pas ton hypothèse de départ.
en ce qui concerne la preuve proposée par bd2017 ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2191274,2191664#msg-2191664 je dirais (question de faire le logicien (:D) qu'elle utilise l'absurdité classique. Or sachant qu'en logique classique l'absurdité est un peu comme l'axiome du choix, si on peut l'éviter on l'évite, on peut s'en passer avec la démonstration par récurrence...
PS. peut-être que je dis âneries mais c'est cool de faire son "logicien" de temps en temps. -
Ok merci. Je pense avoir trouvé.
Soit $y \in H \subset E$. Comme $E=G \oplus K$ alors $y=y_G+y_K$ avec $(y_G,y_K) \in G \times K$
Montrons que $y_K \in H$. Si $y_K \notin H$ alors on aurait $y_K =y-y_G \in H$ ce qui est absurde.
Donc $\forall y \in H \ \exists (y_G,y_{K \cap H})$ tel que $y =y_G + y_{K \cap H}$ d'où l'inclusion voulue.
Je cherche l'autre méthode. La récurrence est compliquée. -
Ok Raoul.S merci.
Je tente la deuxième méthode.
Supposons que $\K=\C$. Soit $F= \displaystyle\bigoplus_{\lambda \in sp(f)} E_{\lambda}$. Montrons que $E=F$.
$F$ est stable par $f$ car chaque $E_{\lambda}$ est stable par $f$. Par hypothèse, il admet un supplémentaire $G$ stable par $f$ dans $E$.
Par l'absurde, supposons que $G \ne \{0 \}$. On a alors $E=F \oplus G$ avec $G \ne \{0\}$.
L'endomorphisme induit par $f$ sur $G$ : $f_G : G \longrightarrow G$ est un endomorphisme qui admet une valeur propre $\mu$ car $\K=\C$. Notons $v$ le vecteur propre associé.
Je bloque à ce stade :-o -
@Oshine Encore une fois tu bloques! Ce n'est pas normal.
Dans le cas précédent, il suffit que @Raoul te dises que tu n'utilises pas l'hypothèse pour que tu arrives finalement à faire la question.
Mais c'est toujours comme ça: Il faut utiliser les hypothèses!!!
Ici c'est pareil. Il suffit d'ouvrir les yeux pour finir!!.
@Raoul, c'est nouveau: un raisonnement par l'absurde il vaut mieux éviter? Là je tombe de haut.
Peux tu faire le lien avec l'axiome du choix ? -
Je n'ai pas utilisé l'hypothèse $F \cap G = \{0 \}$.
Par définition de $F$, on sait que $\exists \lambda \in sp(f) \ v \in E_{\lambda}$. Donc $v$ est un vecteur propre de $f$.
Donc $v \in F \cap G$ avec $v$ non nul ce qui est absurde.
J'ai utilisé le fait que si $F=F_1 \oplus F_2$ avec $F_1,F_2$ des sous-espaces vectoriels, un élément qui appartient à $F_2$ appartient forcément à $F$.
En effet, $F=F_1+F_2$ alors $0+x_{F_2} =x_{F_2} \in F$. -
bd2017 a écrit:un raisonnement par l'absurde il vaut mieux éviter? Là je tombe de haut.
Il faut passer plus de temps dans le sous-forum "Fondement et Logique" alors. :-D
Non mais ce que j'ai écrit ici (deuxième partie du message) http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2191274,2191682#msg-2191682 c'était surtout une petite provocation aux logiciens mais personne n'a mordu à l’hameçon... :-(
Quoi qu'il en soit en supposant que ma compréhension concernant la logique classique soit correcte je pense ce que j'ai dit plus haut. Je développe :
en logique classique on a formalisé les règles logiques qui permettent d'obtenir des preuves et la "règle du raisonnement par l'absurde" joue un peu le rôle de l'axiome du choix en théorie des ensembles. Dans le sens que certains théorèmes ne peuvent pas être démontrés sans cette règle. Je crois que si on omet cette règle on travaille dans ce qu'on appelle la "logique intuitionniste" (enfin on me corrigera...).
Donc si un théorème peut être démontré sans cette règle alors on préférera une démonstration n'utilisant pas cette règle plutôt qu'une démonstration qui l'utilise (comme pour l'axiome du choix quoi), car cela signifie que le théorème est encore prouvable en logique intuitionniste.
Bref je crois pouvoir dire qu'utiliser cette règle lorsqu'elle n'est pas nécessaire fera à un logicien l'effet que ça peut te faire d'utiliser l'axiome du choix pour démontrer un truc sachant qu'on peut le démontrer sans... :-? -
Sinon pour les intéressés, la fin de la question était ;
Qu'en est-il si $\K=\R$ ?
Il suffit de prendre dans $\R^2$ la rotation d'angle qui n'est pas congru à $0$ modulo $\pi$.
Les sous-espaces stables sont $\{0\}$ et $E$ et leur supplémentaires sont clairement stables.
Bon dans mon livre de MP, ceci était expliqué dans les exemples donc j'ai eu de la chance.
Mais une question me taraude : ça existe une rotation dans le corps $\K$ ? C'est quoi la différence avec une rotation dans le corps $\R$ ? -
Je pense que la réponse est oui.
Soient $p$ un nombre premier et $k\in\mathbb N$ tel que $k^2\equiv_p 1$. Dans le corps fini $\mathbb F_{p}$, la matrice de $\mathcal M_3(\mathbb F_p)$ suivante :
$$
R=\begin{pmatrix}
0 & 0 & k \\
0 & k & 0 \\
k & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$ est une rotation, car $RR^t=I_3$. La matrice $kI_3$ marche aussi. J'ai pris l'ordre $3$ mais c'est arbitraire... -
Il serait prudent d'exclure $p=2$ parce que le comportement des symétries est très différent (parce que $-1=1$). Dans ces conditions, l'équation $k^2=1$ admet deux solutions dans $\mathbf{F}_p$, à savoir $-1$ et $1$. Tout de suite, $R$ semble plus banale...
Au demeurant, pour $k=1$, c'est une symétrie plutôt qu'une rotation (le déterminant vaut $-1$). Et au demeurant du demeurant, la dénomination « rotation » en dehors des réels, je ne l'ai jamais entendue. -
J'ai trouvé la réponse à ma question.
Une rotation d'angle non égal à 0 modulo $\pi$ n'a pas de valeur propre. Il n'y a aucun moyen d'obtenir $r(x)= \lambda x$ si $\lambda$ est réel.
Par contre si $\lambda = r e^{i \theta}$ on retombe sur un vecteur colinéaire à $r(x)$.
Axelis, les corps finis je ne maitrise pas du tout, mais votre exemple c'est pour montrer quoi ?
Car dans mon sujet on parle que de $\K=\R$ ou $\K=\C$. -
Peux-tu reformuler ta question ? Je pensais que tu voulais savoir s'il existait des rotations dans d'autres corps que $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
-
Qu'en est-il si $\K=\R$ ?
C'est la même question que celle du départ avec $\K=\R$, j'ai trouvé un contre exemple donc pour moi c'est faux. -
@FB: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2191274,2191398#msg-2191398
Attention, moi je ne me moque pas du tout de OS et il le sait.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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