Isomorphisme d'anneau de polynômes
dans Algèbre
Bonjour svp quelqu'un pourra m'aider pour finaliser cet exercice.
Pour $ Im( \phi) ,$ je ne trouve pas de problème c'est $ \mathbb{ Q [ racine( 7) ] } $ mais dans le noyau j'ai rencontré un petit problème.
Si $P(X) in ( X^{2} - 7)$ (l'idéal engendré) on a alors : $ \phi ( P(X)) = P(\sqrt 7 ) = \phi ( X^{2} - 7) \phi ( B(X)) = 0 $, où $B(X) \in \mathbb{ Q[X]}),$ d'où la premier inclusion.
Si $ P(X) \in \ker ( \phi) ,\ P(\sqrt 7 ) = 0 $,
donc $ X- \sqrt 7 \mid P(X) $,
puis $ X^{2} - 7 \mid P(X). (X+\sqrt 7)$
Ab]À[/b] ce stade j'ai pensé au lemme d'Euclide. " Si $p$ un entier premier, et $a, b$ deux entiers naturel tel que $p \mid ab$ , alors on a : $p\mid a$ ou $p \mid b$" j'ai essayé d'appliquer ceci mais sur les polynômes... J'ai montré ma démonstration à mon professeur ce matin il m'a dit que c'est faux, il ne m'a pas vraiment dit ou exactement mais bon je pense que c'est au dernier stade, s'il vous plaît quelqu'un pourra m'aider pour terminer la deuxième inclusion que j'ai commencée.
Merci.
Pour $ Im( \phi) ,$ je ne trouve pas de problème c'est $ \mathbb{ Q [ racine( 7) ] } $ mais dans le noyau j'ai rencontré un petit problème.
Si $P(X) in ( X^{2} - 7)$ (l'idéal engendré) on a alors : $ \phi ( P(X)) = P(\sqrt 7 ) = \phi ( X^{2} - 7) \phi ( B(X)) = 0 $, où $B(X) \in \mathbb{ Q[X]}),$ d'où la premier inclusion.
Si $ P(X) \in \ker ( \phi) ,\ P(\sqrt 7 ) = 0 $,
donc $ X- \sqrt 7 \mid P(X) $,
puis $ X^{2} - 7 \mid P(X). (X+\sqrt 7)$
Ab]À[/b] ce stade j'ai pensé au lemme d'Euclide. " Si $p$ un entier premier, et $a, b$ deux entiers naturel tel que $p \mid ab$ , alors on a : $p\mid a$ ou $p \mid b$" j'ai essayé d'appliquer ceci mais sur les polynômes... J'ai montré ma démonstration à mon professeur ce matin il m'a dit que c'est faux, il ne m'a pas vraiment dit ou exactement mais bon je pense que c'est au dernier stade, s'il vous plaît quelqu'un pourra m'aider pour terminer la deuxième inclusion que j'ai commencée.
Merci.
Réponses
-
Bonjour, et en introduisant $\Psi$ : $\mathbb{Q}[X]\rightarrow\mathbb{Q}[-\sqrt{7}]$ $P\mapsto P(-\sqrt{7})$ comment a-t-on conjugué $\Phi(P)$ et $\Psi(P)$ (que dire de l'application $\Phi(P)\mapsto \Psi(P)$)?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
Bonjour
Je comprend pas bien votre question mais quel est le lien avec ce que je cherche ? j'essaie juste de prouver que
Ker ( $ \phi$ ) est inclus dans ( X^2 - 7 ) et je me suis bloqué dans un stade... -
Que dire de l'application $\Phi(P)\mapsto \Psi(P)$? Calculez-la avec l'exemple d'un polynôme de degré $2$. Que constatez-vous?.Essayez de généraliser à $\mathbb{Q}[X]$.Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
j'ai pris le polynome : X^2 - 7 , je trouve :
$ \phi ( P (X) ) $ = $ \psi ( P (X) ) $ = 0 -
Géométriquement, qu'est-ce que l'application $\Phi(P)\mapsto\Psi(P)$? Choisissez un autre exemple moins simple.Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
Calculez l.application que je vous indique sur $X^2+8X+13$. Calculez son carré. Cela ne vous rappelle rien?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
Bonjour don_juanes2.
Pour montrer que $\ker(\Phi)\subset(X^2-7)$, on peut par exemple utiliser la division euclidienne dans $\mathbb{Q}[X]$.
Soit $P(X)\in\textrm{Ker}(\Phi)$. On peut écrire $P(X)=Q(X)\cdot(X^2-7)+R(X)$ où $Q,R\in\mathbb{Q}[X]$ et $\deg(R)\leq1$. Alors, $R(\sqrt{7})=P(\sqrt{7})=0$. Et je te laisse conclure que $R=0$, c'est-à-dire que $P(X)=Q(X)\cdot(X^2-7)\in(X^2-7)$. -
avec le polynome que vous m'avez donnez je trouve 1
-
Bintje ,
merci pour votre méthode ! que pensez vous de la mienne ? -
Appelez $s$ l'application $\Phi(P)\mapsto \Psi(P)$. Qu'est $s$?.Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
s ( $ \phi ( P ) $ ) = $ \psi ( P ) $ = P ( - racine ( 7 ))
-
Lisez Bintje : si un polynôme de degré $1$ à coefficients rationnels s'annule en $\sqrt{7}$ comment pouvez-vous conclure qu'il est nul?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
Si un polynôme de degré $1$ à coefficients rationnels s'annule en $\sqrt{7}$, qu'est ce que vous en déduisez pour
$\sqrt{7}$?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré -
R vit dans l'anneau des polynôme rationnel, il est de degré 1et s'annule en racine(7) ne peut être que le polynôme nul
-
Montrer que si $P\in\mathbb{Q}$ et $deg(P)=1$ et $P(\sqrt{7})=0$ alors $\sqrt{7}\in\mathbb{Q}$. Concluez en prouvant que $\sqrt{7}\notin\mathbb{Q}$.Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
P degré 1 i.e P = aX+b , P(racine(7)) = 0 = a.racine(7) +b ce qui implique : racine(7) est rationnel . absurde
APRES TOUTE CETTE DISCUSION J'AI MEME PAS EU MA REPONSE , OU EST CE QUE J'AI COMMIS L'ERREUR DANS MA DEMO , JE CHERCHAIS PAS A SAVOIR D'AUTRES METHODES TOUS CE QUE JE VOULAIS C'EST DE SAVOIR POURQUOI MON PROF M'A AFFIRME QUE C'EST FAUX . -
Demandez-lui.Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
Bonjour,
Quand tu écris : $X^2-7 \mid P(X)\,(X+\sqrt7)$, dans quel anneau de polynômes es tu ? N'est-ce pas dans $\mathbb Q(\sqrt 7)[X]$ ? Est-ce que $X^2-7$ est irréductible dans cet anneau ?
Tu vois, ton raisonnement ne tient pas la route. -
Bonjour,
je n'ai pas vu ca !! j'ai raisonné comme si je travaillais dans Q[X] alors que ce n'est pas le cas...
Je vous remercie pour votre réponse (resp : votre correction).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 20
+12 Invités