Ensembles simpliciaux
Bonsoir,
Un ensemble simplicial est déterminé par la donnée d'un ensemble $X_n$ pour chaque entier $n$ et des applications "face" $d_i:X_{n+1} \to X_{n}$ et "degeneracy" $s_i: X_{n} \to X_{n+1}$ (je ne sais pas comment on traduit ça) pour chaque entier naturel $n$ et chaque $i \leq n$, lesquelles vérifient certaines relations. Parmi ces relations, on a, en particulier, $d_i \circ d_j = d_{j-1} \circ d_{i}$ pour $i < j$. Par exemple, on a $d_0 \circ d_1 = d_0 \circ d_0: X_2 \to X_0$. En revanche, en général, on n'a pas $d_0 \circ d_1 = d_0 \circ d_2$.
Je lis qu'un ensemble simplicial "peut être ainsi visualisé comme un diagramme de la forme" celui qui est joint. Or je ne comprends pas comment on lit sur ce diagramme que, par exemple, on a $d_0 \circ d_1 = d_0 \circ d_0$ mais pas nécessairement $d_0 \circ d_1 = d_0 \circ d_2$. D'habitude, avec un diagramme commutatif, on prend deux chemins quelconques d'un point $A$ à un point $B$ et les deux chemins désignent une égalité de composition, mais ici, des fois ça commute et des fois non.
Un ensemble simplicial est déterminé par la donnée d'un ensemble $X_n$ pour chaque entier $n$ et des applications "face" $d_i:X_{n+1} \to X_{n}$ et "degeneracy" $s_i: X_{n} \to X_{n+1}$ (je ne sais pas comment on traduit ça) pour chaque entier naturel $n$ et chaque $i \leq n$, lesquelles vérifient certaines relations. Parmi ces relations, on a, en particulier, $d_i \circ d_j = d_{j-1} \circ d_{i}$ pour $i < j$. Par exemple, on a $d_0 \circ d_1 = d_0 \circ d_0: X_2 \to X_0$. En revanche, en général, on n'a pas $d_0 \circ d_1 = d_0 \circ d_2$.
Je lis qu'un ensemble simplicial "peut être ainsi visualisé comme un diagramme de la forme" celui qui est joint. Or je ne comprends pas comment on lit sur ce diagramme que, par exemple, on a $d_0 \circ d_1 = d_0 \circ d_0$ mais pas nécessairement $d_0 \circ d_1 = d_0 \circ d_2$. D'habitude, avec un diagramme commutatif, on prend deux chemins quelconques d'un point $A$ à un point $B$ et les deux chemins désignent une égalité de composition, mais ici, des fois ça commute et des fois non.
Réponses
-
Ah c'est un diagramme, mais pas un diagramme commutatif :-D
Donc on ne lit pas cette relation, elle est "sue".
("faces" et "dégénérescences" sont les termes communément employés) -
Merci. J'ai été induit en erreur par le fait que cette phrase commençant pas "Thus," suivait la liste de ces relations, je pensais pouvoir retrouver ces relations avec ce diagramme.
-
Alesha,
Je vois que tu as la réponse à ta question. Peut-être, pour l'aspect ``illustrated'', que tu peux tout de même jeter un oeil sur ``An elementary illustrated introduction to simplicial sets'' de Greg Friedman in https://arxiv.org/pdf/0809.4221.pdf
Peut-être que tu connais ? -
Merci, Claude. Oui, je connais et j'aime bien le fait qu'il y ait des figures (je connais plein de références sans aucune figure, alors même que l'on y parle de "réalisation géométrique").
-
J'ai personnellement préféré l'introduction des dessins/figures après qu'on m'a expliqué pourquoi on avait le droit ; et là tout d'un coup c'est super bien rentré, alors que mes tentatives précédentes s'étaient écrasées contre ces dessins qu'on ne m'expliquait pas.
Une fois qu'on sait qu'on y a le droit, c'est évidemment un super point de vue et ça aide à comprendre les ensembles simpliciaux beaucoup mieux, notamment leur lien avec les espaces topologiques via la notion de réalisation géométrique (bon, maintenant je préfère dire leur relation avec les types d'homotopie, mais commençons soft)
En particulier, je n'aime pas représenter les ensembles simpliciaux par le genre de diagramme plus haut; je réserve ces diagrammes aux objets simpliciaux dans des catégories plus structurées, parce que je ne vois pas un ensemble simplicial comme un [foncteur de blabla vers les ensembles] mais comme un "espace" à part entière.
Par exemple, je l'utilise volontiers pour la construction bar cyclique en homologie de Hochschild.
(bon après je suis homotopiste, je ne sais pas dans quelle mesure d'autres domaines utilisent les ensembles simpliciaux avec une autre vocation que "être un espace", peut-être que pour ces domaines ça fait sens d'utiliser ce genre de diagramme)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 13
+9 Invités