Bases orthonormées et maximum — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Bases orthonormées et maximum

marcomarco
dans Algèbre
Bonjour,

Sachant que $(e_1, \ldots,e_n)$ et $(f_1, \ldots, f_n)$ sont des bases orthonormées directes de $\R^n$, et que, pour $i=1, \ldots, n-1$, on a $\|e_i-f_i\| \leq \epsilon_i$, quel est le maximum de $\|e_n-f_n\|$ en fonction de $\epsilon_1, \ldots, \epsilon_{n-1}$ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • marcomarco
    Je crois avoir montré que le maximum est inférieur à $\epsilon_1+ \cdots+\epsilon_{n-1}$. En effet, soit $p(u_1, \ldots,u_{n-1})$ le "produit vectoriel" sur $\R^n$. Alors $e_n=p(e_1,\ldots, e_{n-1})$ et $f_n=p(f_1, \ldots, f_{n-1})$.
    Donc $f_n-e_n=p(f_1-e_1,e_2, \ldots, e_{n-1})+p(f_1, f_2,\ldots, f_ {n-1})-p(f_1,e_2, \ldots, e_{n-1})=\cdots=\sum_{i=1}^{n-1} p(f_1, \ldots, f_{i-1}, f_i-e_i, e_{i+1}, \ldots, e_{n-1})$.
    Donc $\|f_n -e_n\| \leq \sum_{i=1}^{n-1} \|f_i-e_i\|$, car $\| f_i\|=\| e_i\|=1$ pour $i=1, \ldots, n-1$.
  • FoysFoys
    Ce maximum vaut $2$ quand $f_i=e_i$ pour tous $i\leq n-1$ et $f_n = -e_n$.
    Sinon, $\|x-y \| = \sqrt{2-2\langle x,y\rangle}\leq \sqrt{2+2\|x \| \|y \| }\leq 2$ pour tous vecteurs unitaires $x,y$ via Cauchy-Schwarz.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • FoysFoys
    Argh j'avais pas vu que les bases sont directes!
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • MaxtimaxMaxtimax
    Foys : l'une de tes deux bases n'est pas directe avec $f_n = -e_n$
  • PeaPea
    Pour le minimum de $\langle e_n,f_n\rangle$, je trouve $(1-\frac{\epsilon_1^2}{2})\ldots (1-\frac{\epsilon_{n-1}^2}{2})$ (au moins si les $\epsilon_i$ sont assez petits).
  • marcomarco
    Merci Pea. Comment le montres-tu ?
  • PeaPea
    Humm...désolé je me suis trompé le minimum est plus petit mais je ne sais pas le calculer.
  • marcomarco
    Pea: comment montres-tu que le minimum de $\langle e_n,f_n\rangle$ est inférieur ou égal à $(1-\frac{\epsilon_1^2}{2})\ldots (1-\frac{\epsilon_{n-1}^2}{2})$ ?
  • PeaPea
    Marco: on peut construire deux bases orthonormées $(e_1,\ldots ,e_n)$, $(f_1,\ldots,f_n)$ comme dans ton énoncé et vérifiant $\langle e_n,f_n\rangle=(1-\frac{\epsilon_1^2}{2})\ldots (1-\frac{\epsilon_{n-1}^2}{2})$ par récurrence. Plus précisément, supposons qu'il existe une base orthonormée $(f_2',\ldots ,f'_n)$ de $Vect(e_2,\ldots ,e_n)$ telles que $\lVert f_i'-e_i\rVert\leqslant \epsilon_i$ pour $i=1,\ldots, n-1$ et $\langle e_n,f'_n\rangle=(1-\frac{\epsilon_2^2}{2})\ldots (1-\frac{\epsilon_{n-1}^2}{2})$. On pose alors $f_n=(1-\frac{\epsilon_1^2}{2})f'_n+\sqrt{\epsilon_1^2-\frac{\epsilon_1^4}{4}} e_1$, $f_1=(1-\frac{\epsilon_1^2}{2})e_1-\sqrt{ \epsilon_1^2-\frac{\epsilon_1^4}{4} } f'_n$ et $f_i=f'_i$ pour $2\leqslant i\leqslant n-1$. La famille $(f_1,\ldots ,f_n)$ est alors une BON vérifiant les propriétés voulues. Cela revient à construire $(f_1,\ldots,f_n)$ à partir de $(e_1,\ldots,e_n)$ en appliquant une suite de rotations dans les plans perpendiculaires aux sous-espaces $Vect(e_1,\ldots, e_{i-1})+Vect(f_{i+1},\ldots, f_{n-1})$ pour $1\leqslant i\leqslant n-1$. Par contre j'obtiens que le minimum est strictement plus petit dès que $n\geqslant 3$ par un calcul direct.
  • marcomarco
    Merci !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!