Morphisme de corps et permutation des places

Bonsoir,

Y aurait-il quelqu'un ici suffisamment versé à la fois en algèbre et en fonctions L pour justifier rigoureusement mon edit du 12 décembre dans ce lien ? L'idée étant qu'un morphisme de (L-)rig doit pouvoir se prolonger en morphisme de corps et qu'un élément $\phi$ de $\operatorname {Aut}(\mathcal{M})$ étant en particulier un endomorphisme, on devrait en déduire que $v=\sigma(v)$. Je pensais aussi qu'on pourrait d'abord tenter de prouver qu'un tel $\phi$ devrait se prolonger en morphisme d'anneau, qui serait alors injectif, donc un morphisme de corps. Le gros souci à mon avis est de faire le lien entre $L_{v}$ et $\mathbb{Q}_{v}$. Des idées ?

Merci d'avance.