Sous-espaces stables
dans Algèbre
Bonsoir. Svp je cherche une indication pour l'exercice suivant.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, et $u\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $u^{3}=u$.
Déterminer les sous-espaces stables de $u$.
Merci bien.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, et $u\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $u^{3}=u$.
Déterminer les sous-espaces stables de $u$.
Merci bien.
Réponses
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Si nous commencions par factoriser $X^3-X$ ?
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$\mathbb{K}=\mathbb{R}$.
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$u$ est diagonalisable car admet un polynôme annulateur scindé a racines simples et que le spectre est inclus dans $\{ 0,1,-1\}$.Mais comment on peut discuter ..
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La clé est un lemme classique : la restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.
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Bonsoir. merci d'avance pour votre aide. mon problème est comment je peux discuter sur les valeurs propres éventuelles pour trouver les sous espaces stables..
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Sans plus d'information, on ne peut pas être plus précis que « un sous-espace de $\ker(u+\mathrm{id})$ » ou des choses comme ça.
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Merci bien.
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Salut,
si tu préfères : si $F$ est un sous-espace stable, alors le polynôme caractéristique de la restriction de $u$ à $F$ divise $X^3-X$ ...
Bonne journée.
F.
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