Sous-espaces stables

abdellatif
abdellatif
dans Algèbre
Bonsoir. Svp je cherche une indication pour l'exercice suivant.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, et $u\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $u^{3}=u$.
Déterminer les sous-espaces stables de $u$.
Merci bien.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Si nous commencions par factoriser $X^3-X$ ?
  • abdellatif
    abdellatif
    $\mathbb{K}=\mathbb{R}$.
  • abdellatif
    abdellatif
    $u$ est diagonalisable car admet un polynôme annulateur scindé a racines simples et que le spectre est inclus dans $\{ 0,1,-1\}$.Mais comment on peut discuter ..
  • Math Coss
    Math Coss
    La clé est un lemme classique : la restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.
  • abdellatif
    abdellatif
    Bonsoir. merci d'avance pour votre aide. mon problème est comment je peux discuter sur les valeurs propres éventuelles pour trouver les sous espaces stables..
  • Math Coss
    Math Coss
    Sans plus d'information, on ne peut pas être plus précis que « un sous-espace de $\ker(u+\mathrm{id})$ » ou des choses comme ça.
  • abdellatif
    abdellatif
    Merci bien.
  • malavita
    malavita
    Salut,
    si tu préfères : si $F$ est un sous-espace stable, alors le polynôme caractéristique de la restriction de $u$ à $F$ divise $X^3-X$ ...

    Bonne journée.
    F.
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