Sous-corps de R

don_juanes2 · November 2020

Bonjour
Quelqu'un svp pourra me donner son point de vue a propos de cette question.

" Soit d un entier positive tq racine (d) n'appartient pas à Q.
On considère dans R l'ensemble :
E_d = { a+b.racine(d) , (a,b)€Q }
existe-t-il un isomorphisme entre E_2 et E_3 ? "

La réponse qui a tourné dans ma tête est la suivante (je sens bien qu'elle est fausse...).
Il ne peut exister un isomorphisme entre E_2 et E_3.
En effet :
E_2 et E_3 sont des sous-corps de R (car E_d l'est).
Et on sait que l'identité est l'unique automorphisme du corps R, donc il ne peut exister un automorphisme qui lie entre E_2 et E_3.
Merci.

Dom · November 2020

Le raisonnement fonctionne-t-il avec E_2 et E_8 ?

Poirot · November 2020

Tu sens bien effectivement, pourquoi un isomorphisme entre $E_2$ et $E_3$ serait la restriction d'un automorphisme de $\mathbb R$ ?

Il faut plutôt raisonner comme ça : s'il existe un isomorphisme $f$ entre $E_2$ et $E_3$ alors "$f$ transporte tout ce qu'il se passe dans $E_2$ dans $E_3$". Le "ce qu'il se passe" concerne les propriétés exprimables dans le langage des anneaux. Or dans $E_2$, $2$ est un carré. Est-ce le cas dans $E_3$ ?

don_juanes2 · November 2020

Dom ; J'aime bien votre question !
J'ai rencontré un résultat qui donne une condition d'isomorphisme de deux corps : " si E_alpha et E_Beta deux corps tq racine(alpha) et racine (beta) sont irrationnels alors ona ( Il existe un isomorphisme g du corps E_alpha sur E_beta) ssi ( racine(alpha / beta ) = d est rationnel)

Donc si on applique cela sur E_2 et E_8 on trouve que racine(8/2)=2
Il existe donc un isomorphisme entre ses deux corps.
Mais ça ne marche pas avec E_2 et E_3