Irréductibilité dans $\mathbb{C}[X,Y]$
dans Algèbre
Bonjour
Je dois démontrer l'irréductibilité du polynôme suivant:
Merci d'avance.
Je dois démontrer l'irréductibilité du polynôme suivant:
X2 - Y3, dans $\mathbb{C}$[X,Y].
Pour d'autres exemples de cet exercice, je me suis servi du critère de réduction, et du critère d'Eisenstein, mais ici, aucun des deux ne semble m'aider. Idées, indices ?Merci d'avance.
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Réponses
C'est une conséquence du fait que $Y^3$ ne possède pas de racine carrée dans $\Bbb C[Y]$, non ?
Sinon, est-ce que tu as pensé au lemme de Gauss (par exemple dans $R[X]$ avec $R= \mathbb C[Y]$) ?
Je n'ai pas encore vu le lemme de Gauss jusqu'à présent.
Soient $A,B\in \C[X,Y]$ tels que $AB=X^2-Y^3$. Soit $d_A$ (resp $d_B$) le degré en $X$ de $A$ (resp $B$).
On a alors deux cas : 1°) $d_A=2$ et $d_B=0$ (ou bien $d_B=2$ et $d_A=0$ mais cela revient au même quitte à échanger $A$ et $B$) et 2°) $d_A=d_B=1$.
Dans le premier cas on a $f,g,h,q,b\in \C[Y]$ tels que $A(X,Y)=f(Y)X^2+g(Y)X+h(Y)$ et $B(X,Y)=Y$ et alors
$X^2-Y^3 = \left ( f(Y)X^2+g(Y)X+h(Y)\right ) b(Y) = f(Y)b(Y)X^2+g(Y)b(Y)X+h(Y)b(Y)$.
Par suite $f(Y)b(Y)=1$ ce qui entraîne que $c:=b(Y) \in \C\backslash \{0\}$, $f(Y)=c^{-1}$, $g(Y)=0$ et $h(Y)=c^{-1}Y^3$.
Dans le deuxième, il existe $t,u,v,w\in \C[Y]$ tels que $A(X,Y)= t(Y)X+u(Y)$ et $B(X,Y)= v(Y)X+w(Y)$. On conclut par un raisonnement analogue au premier cas (via $t(Y)v(Y) = 1$).
Je profite de ce fil pour signaler le joli critère d'irréductibilité suivant.
Un polynôme $f\in\C[x_1,\dots,x_r]$ qui s'écrit sous la forme $f=f_1(x_1)+\dots+f_r(x_r)$ avec $\deg(f_i)\ge 1$ pour tout $i$ est toujours irréductible pour $r\ge 3$. Pour $r=2$, le polynôme $f$ est irréductible si $\deg(f_1)$ et $\deg(f_2)$ sont premiers entre eux (on est dans ce dernier cas avec l'exemple $X^2-Y^3$).
Plus d'infos ici : https://mathoverflow.net/questions/14076/irreducibility-of-polynomials-in-two-variables.
Étant donné l’anneau de polynômes $k[Z]$, il existe, par la propriété universelle de l’anneau des polynômes, un homomorphisme $f:\: k[X,Y] \longrightarrow k[Z]$ défini par $f(X)=Z^b, \: f(Y)=Z^a$ et $f(\lambda)=\lambda$ pour tout $\lambda \in k$.
Alors $\ker f= (X^a-Y^b)k[X,Y]$ et $X^a-Y^b$ est un polynôme irréductible de $k[X,Y]$.
Source: Algèbre et géométrie, Jean Fresnel et Michel Matignon. Ellipses.
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Le reste est un polynôme en $X$, de degré $a-1$, à coefficients dans $k[Y]$ et l’on démontre que tous ces coefficients sont nuls.
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