Erreur de ma part !! j'efface pour ne pas perturber O Shine.
Sinon, montrer que c'est un espace vectoriel est facile (Même chose que le I,1), pour voir qu'il est de dimension 2, pense aux termes de départ qu'il faut connaître pour déterminer tous les termes de la suite.
Oui c'est un sous-espace vectoriel de $E$ facile à vérifier de tête. La suite me pose plus de problème.
On doit montrer qu'il existe 2 suites de $\mathcal E$ que l'on peut appeler $a_n$ et $b_n$ telles que $u_n = \lambda a_n+\mu b_n$ avec $(a_n,b_n)$ libre.
On regarde les premiers termes. On cherche l'existence de 2 suites qui vérifient :
Moi je ne comprends pas ce que tu fabriques !! C'est quoi ces nombres que tu ne nous as pas présentés : $a_0, b_0, a_1,b_1$ ? Plus généralement ces suites $a_n$ et $b_n$ ?
Tu donnes l'impression de copier un corrigé sans comprendre ...
Mon nouveau livre ne donne pas de correction, juste des indications. L'indication est de partir des suites $a_n$ et $b_n$ et du système. J'ai essayé cette piste mais je me rends compte que je n'y comprends rien.
Ton problème vient que tu n'as pas compris ce qu'est une famille libre de E. Montrer que (a0,b0) est libre n'a aucun sens. Tres bon choix d'avoir pris un livre sans corrigé
Soit E l'ensemble des suites qui vérifient la relation donnée.
On montre d'abord que $E$ est un espace vectoriel.
Et on montre, par exemple que l'application $\varphi $ de $E$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à une suite donnée $u$ associe le couple $(u_0, u_1)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Comme $\mathbb{R}^2$ est de dimension 2 c'est gagné.
Noobey je vois mon erreur, $a_0,b_0$ ne sont pas des éléments de $\mathcal E$.
C'est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles.
Jean-Eric merci mais l'indication de mon livre n'a rien à voir avec ce que vous me conseillez. Votre méthode est plus rapide, le noyau est réduit à $\{0\}$. En effet, si $u_0=u_1=0$ alors $\forall n \geq 2 \ u_n=0$.
Mon livre n'utilise pas ces techniques car c'est le 1er chapitre et l'auteur n'a pas encore introduit les applications linéaires.
Voici l'indication du livre :
Soient $a_0,a_1,b_0,b_1$ des réels tels que $a_0 b_1 \ne a_1 b_0$. On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ de $\mathcal E$ dont les premiers termes sont respectivement $a_0,a_1$ et $b_0,b_1$. Soit $(u_n) \in \mathcal E$.
Montrer qu'il existe un et un seul couple $\lambda,\mu$ de réels tels que :
$\begin{cases} u_0= \lambda a_0 + \mu b_0 \\ u_1=\lambda a_1+\mu b_1 \end{cases}$
En déduire que $(a_n)$ et $(b_n)$ forment une base de $\mathcal E$.
Voici mon analyse :
L'existence du couple $(\lambda,\mu)$ est assurée par le fait que le déterminant du système de Cramer vaut $a_0 b_1 - a_1 b_0 \ne 0$.
Il y a même unicité de la solution.
Ainsi $\forall n \in \{0,1 \} \ \exists ! (\lambda,\mu) \in \R^2 \ u_n = \lambda a_n + \mu b_n$.
Comme $(u_n)$ est entièrement déterminée par ses 2 premiers termes, $\forall n \in \N \ \exists ! (\lambda,\mu) \in \R^2 \ u_n = \lambda a_n + \mu b_n$.
Ainsi $((a_n),(b_n))$ est une base de $\mathcal E$.
Comme $(u_n)$ est entièrement déterminée par ses 2 premiers termes, $\forall n \in \N \ \exists
! (\lambda,\mu) \in \R^2 \ u_n = \lambda a_n + \mu b_n$.
Ainsi $((a_n),(b_n))$ est une base de $\mathcal
E$.
Tu piges un peu ce que tu écris?
D'autre part c'est pas inutile de choisir la famille $(\phi ,\psi)$ , définies par leurs 2 premiers termes 1,0 pour $\phi$ et (je te laisse deviner pour $\psi$ ) qui est évidemment libre et génératrice . C'est on ne peut plus facile à justifier ...
(ça revient à l'idée que quelqu'un t'a proposée sans pour autant parler de noyau. Encore que tu ne vas pas nous refaire le coup que c'est à la page 20 de ton livre alors que l'exercice est à la page 10)...
Ce que voulait te dire bd2017, c'est que tu as fait une erreur en inversant les quantificateurs $\forall n\in\N$ et $\exists (\lambda,\mu)\in\R^2$ dans la phrase logique que tu as écrite.
Telle que tu l'as écrite, $\lambda$ et $\mu$ pourraient dépendre de $n$, ce qui n'est pas du tout ce que tu veux.
Par ailleurs, le $!$ signifiant l'unicité ne change absolument rien à cet état de fait.
@OS : tu n'as toujours pas répondu à la question précédente. Je ne vois aucune raison de te donner des indications pour la suite.
PS : je constate que tu es toujours sur ce forum. Peut-être faudra-t-il me communiquer les coordonnées de ton Collège où il semble que l'on ne fiche pas grand chose.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
@OS : je ne te flique en aucun cas ; je constate. Réponds s'il te plait à la première question de manière rigoureuse.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Soit $(u_n) \in \mathcal E$.
L'existence du couple $(\lambda,\mu)$ est assurée par le fait que le déterminant du système de Cramer vaut $a_0 b_1 - a_1 b_0 \ne 0$.
Il y a même unicité de la solution.
Comme $(u_n)$ est entièrement déterminée par ses 2 premiers termes, $ \exists ! (\lambda,\mu) \in \R^2 \ \forall n \in \N \ \ u_n = \lambda a_n + \mu b_n$.
Ainsi $((a_n),(b_n))$ est une base de $\mathcal E$.
Par contre, je ne comprends pas c'est où qu'on utilise que $(u_n) \in \mathcal E$ dans le raisonnement :-S
Pour la question 2, l'équation est $r^2 - \alpha r - \beta=0$ j'exclus la solution triviale $r=0$.
Posons $a_n=r_1 ^n$ et $b_n = r_2 ^n$
Montrons que $((a_n),(b_n))$ forment un base de $\mathcal E$.
Soient $\lambda,\mu \in \R$. On considère le système :
$\begin{cases} u_0=\lambda + \mu \\ u_1=\lambda r_1+\mu r_2 \end{cases}$
Le déterminant du système de Cramer vaut $\det(S)=r_2-r_1 \ne 0$ car $r_2 \ne r_1$.
L'existence est l'unicité de la solution est assurée par la non nullité du déterminant.
Ainsi $u_n = \lambda a_n + \mu b_n$ avec $\lambda$ et $\mu$ uniques.
J'obtiens donc en utilisant les formules de Cramer pour résoudre un système $2 \times 2$ que :
Je ne vois pas comment montrer que $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} - \beta a_n=0$ si $\rho e^{i \theta}$ et $\rho e^{-i \theta}$ sont solutions de $r^2-\alpha r- \beta=0$
Tu écris : "j'exclus la solution triviale (sic) $r=0$. "
Si elle t'embête c'est parce que tu ne sais pas raisonner avec les suites.
Pour que la suite $n\mapsto r^n$ soit solution il faut et suffit que $\forall n\in\N,\ r^{n+2}=\alpha r^{n+1}+\beta r^n$. En particulier, pour $n=0$ tu as la relation voulue : pas la peine d'introduire une discussion oiseuse et montrer ton incompétence.
Réponses
Erreur de ma part !! j'efface pour ne pas perturber O Shine.
Sinon, montrer que c'est un espace vectoriel est facile (Même chose que le I,1), pour voir qu'il est de dimension 2, pense aux termes de départ qu'il faut connaître pour déterminer tous les termes de la suite.
Bon travail personnel !
On doit montrer qu'il existe 2 suites de $\mathcal E$ que l'on peut appeler $a_n$ et $b_n$ telles que $u_n = \lambda a_n+\mu b_n$ avec $(a_n,b_n)$ libre.
On regarde les premiers termes. On cherche l'existence de 2 suites qui vérifient :
$\begin{cases} \\ u_0 = \lambda a_0 + \mu b_0 \\ u_1=\lambda a_1+ \mu b_1 \end{cases}$
C'est un système de Cramer qui admet une solution si et seulement si $a_0 b_1 \ne a_1 b_0$ (C)
On choisit $a_0, a_1, b_0, b_1$ de sorte que la condition (C) soit respectée.
Comme $(u_n)$ est entièrement déterminée par ses 2 premiers termes, il suffit de montrer le résultat pour $n=0$ ou $n=1$.
Montrons à présent que $(a_0,b_0)$ est libre. Je bloque à ce stade.
Tu donnes l'impression de copier un corrigé sans comprendre ...
Mon nouveau livre ne donne pas de correction, juste des indications. L'indication est de partir des suites $a_n$ et $b_n$ et du système. J'ai essayé cette piste mais je me rends compte que je n'y comprends rien.
Ton problème vient que tu n'as pas compris ce qu'est une famille libre de E. Montrer que (a0,b0) est libre n'a aucun sens. Tres bon choix d'avoir pris un livre sans corrigé
Soit E l'ensemble des suites qui vérifient la relation donnée.
On montre d'abord que $E$ est un espace vectoriel.
Et on montre, par exemple que l'application $\varphi $ de $E$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à une suite donnée $u$ associe le couple $(u_0, u_1)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Comme $\mathbb{R}^2$ est de dimension 2 c'est gagné.
Jean-éric.
Noobey je vois mon erreur, $a_0,b_0$ ne sont pas des éléments de $\mathcal E$.
C'est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles.
Jean-Eric merci mais l'indication de mon livre n'a rien à voir avec ce que vous me conseillez. Votre méthode est plus rapide, le noyau est réduit à $\{0\}$. En effet, si $u_0=u_1=0$ alors $\forall n \geq 2 \ u_n=0$.
Mon livre n'utilise pas ces techniques car c'est le 1er chapitre et l'auteur n'a pas encore introduit les applications linéaires.
Voici l'indication du livre :
Soient $a_0,a_1,b_0,b_1$ des réels tels que $a_0 b_1 \ne a_1 b_0$. On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ de $\mathcal E$ dont les premiers termes sont respectivement $a_0,a_1$ et $b_0,b_1$. Soit $(u_n) \in \mathcal E$.
Montrer qu'il existe un et un seul couple $\lambda,\mu$ de réels tels que :
$\begin{cases} u_0= \lambda a_0 + \mu b_0 \\ u_1=\lambda a_1+\mu b_1 \end{cases}$
En déduire que $(a_n)$ et $(b_n)$ forment une base de $\mathcal E$.
Voici mon analyse :
L'existence du couple $(\lambda,\mu)$ est assurée par le fait que le déterminant du système de Cramer vaut $a_0 b_1 - a_1 b_0 \ne 0$.
Il y a même unicité de la solution.
Ainsi $\forall n \in \{0,1 \} \ \exists ! (\lambda,\mu) \in \R^2 \ u_n = \lambda a_n + \mu b_n$.
Comme $(u_n)$ est entièrement déterminée par ses 2 premiers termes, $\forall n \in \N \ \exists ! (\lambda,\mu) \in \R^2 \ u_n = \lambda a_n + \mu b_n$.
Ainsi $((a_n),(b_n))$ est une base de $\mathcal E$.
Tu piges un peu ce que tu écris?
D'autre part c'est pas inutile de choisir la famille $(\phi ,\psi)$ , définies par leurs 2 premiers termes 1,0 pour $\phi$ et (je te laisse deviner pour $\psi$ ) qui est évidemment libre et génératrice . C'est on ne peut plus facile à justifier ...
(ça revient à l'idée que quelqu'un t'a proposée sans pour autant parler de noyau. Encore que tu ne vas pas nous refaire le coup que c'est à la page 20 de ton livre alors que l'exercice est à la page 10)...
Ce sont des scalaires.
Bref tu mélanges les quantificateurs sans aucune gêne. Ce qui fait que ta démo est fausse.
Apparemment il ne dépend pas de $n$.
Telle que tu l'as écrite, $\lambda$ et $\mu$ pourraient dépendre de $n$, ce qui n'est pas du tout ce que tu veux.
Par ailleurs, le $!$ signifiant l'unicité ne change absolument rien à cet état de fait.
J'en suis à II.2.
Soit $(a_n)=(r^n)$ une suite appartenant $\mathcal E$. On a l'équation $r^{n+2}=\alpha r^{n+1} + \beta r^n$
Si $r=0$ alors $a_n=0$ et que dire ?
Si $r \ne 0$ alors on a l'équation $r^2 - \alpha r - \beta=0$
Supposons que ls 2 solutions distinces sont $r_1$ et $r_2$.
Aprèsje bloque. Je ne vois pas le lien entre $(u_n)$ et $r_1$ $r_2$
PS : je constate que tu es toujours sur ce forum. Peut-être faudra-t-il me communiquer les coordonnées de ton Collège où il semble que l'on ne fiche pas grand chose.
J'ai le droit de venir sur le forum lorsque j'ai du temps libre.
Puis j'ai passé mon après midi au collège à corriger des copies alors que normalement je termine à 12h.
L'existence du couple $(\lambda,\mu)$ est assurée par le fait que le déterminant du système de Cramer vaut $a_0 b_1 - a_1 b_0 \ne 0$.
Il y a même unicité de la solution.
Ainsi $ \exists ! (\lambda,\mu) \in \R^2 \ \forall n \in \{0,1 \} \ \ u_n = \lambda a_n + \mu b_n$.
Comme $(u_n)$ est entièrement déterminée par ses 2 premiers termes, $ \exists ! (\lambda,\mu) \in \R^2 \ \forall n \in \N \ \ u_n = \lambda a_n + \mu b_n$.
Ainsi $((a_n),(b_n))$ est une base de $\mathcal E$.
Par contre, je ne comprends pas c'est où qu'on utilise que $(u_n) \in \mathcal E$ dans le raisonnement :-S
C'est lorsque tu dis : "Comme $(u_n)$ est entièrement déterminée par ses 2 premiers termes".
Pour faire cette affirmation tu utilises la définition de $\mathcal E$.
Pour la question 2, l'équation est $r^2 - \alpha r - \beta=0$ j'exclus la solution triviale $r=0$.
Posons $a_n=r_1 ^n$ et $b_n = r_2 ^n$
Montrons que $((a_n),(b_n))$ forment un base de $\mathcal E$.
Soient $\lambda,\mu \in \R$. On considère le système :
$\begin{cases} u_0=\lambda + \mu \\ u_1=\lambda r_1+\mu r_2 \end{cases}$
Le déterminant du système de Cramer vaut $\det(S)=r_2-r_1 \ne 0$ car $r_2 \ne r_1$.
L'existence est l'unicité de la solution est assurée par la non nullité du déterminant.
Ainsi $u_n = \lambda a_n + \mu b_n$ avec $\lambda$ et $\mu$ uniques.
J'obtiens donc en utilisant les formules de Cramer pour résoudre un système $2 \times 2$ que :
$\forall n \in \N \boxed{ \ u_n=\dfrac{u_0 r_2-u_1}{r_2-r_1} r_1 ^n + \dfrac{u_1-r_1 u_0}{r_2-r_1} r_2 ^n} $
Oui c'est juste.
L'indication du livre me semble inutilement compliquée en passant par l'espace des suites complexes et en utilisant les formules d'Euler.
Après sans passer par les complexes, je ne sais pas démontrer que $a_n,b_n \in \mathcal E$
Alors $a_{n+2} =\rho ^2 \rho ^{n} \cos ((n+2) \theta)$
Et $\alpha a_{n+1} + \beta a_n = \alpha \rho ^{n} \rho \cos ((n+1) \theta) + \beta \rho ^n \cos(n \theta)$
Avec $\rho ^2 - \alpha \rho - \beta =0$
Je ne vois pas comment montrer que $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} - \beta a_n=0$ si $\rho e^{i \theta}$ et $\rho e^{-i \theta}$ sont solutions de $r^2-\alpha r- \beta=0$
Si elle t'embête c'est parce que tu ne sais pas raisonner avec les suites.
Pour que la suite $n\mapsto r^n$ soit solution il faut et suffit que $\forall n\in\N,\ r^{n+2}=\alpha r^{n+1}+\beta r^n$.
En particulier, pour $n=0$ tu as la relation voulue : pas la peine d'introduire une discussion oiseuse et montrer ton incompétence.
Il exclut le cas r=0 en disant que la solution nulle est triviale.
Mais sinon je suis d'accord avec vous.
J'ai compris la méthode du livre, mais je me demande comment faire sans passer dans $\C$
Si $P(z)=0 \implies P(\bar{z})=0$ si $P$ est à coefficients réels.