Théorème des deux carrés

Il est "connu" que si $p \equiv 1 \text{ mod } 4$ alors $-1$ est un carré modulo $p$. Autrement dit, il existe $a \in \mathbb Z$ tel que $p$ divise $a^2 + 1$, ce qui donne le résultat. Reste à savoir si tu sais pourquoi $-1$ est un carré modulo $p$.

bisam : ah tu as tout à fait raison, j'aurais dû m'en rendre compte - très bien vu !

fbi: il faut mettre un espace entre chaque crochet et le i, sinon le forum croit que tu ouvres une section "en italique".

Si j'écris Z[ pas d'espace i pas d'espace ], le forum va ensuite tout mettre en italique, donc tu devrais taper Z[ i ] et là ça marche
(d'ailleurs c'est aussi le cas en mode latex, entre dollars; et c'est aussi le cas pour u et b au lieu de i - le cas de u m'a souvent joué des tours avec des diagrammes xymatrix)

Une preuve via une action de groupe :

Le groupe constitué des applications
$id : x\mapsto x$
$f : x\mapsto -x$
$g : x\mapsto x^{-1}$
$h : x\mapsto -x^{-1}$
agit de manière évidente sur l'ensemble $\mathbb{Z}_p^*$ .
En principe les orbites sont d'ordre 4 , sauf si
(1) $x=-x$ ,
(2) $x=x^{-1}$ ou
(3) $x=-x^{-1}$ .
Mais (1) $\Leftrightarrow x=0$ est exclu car $0\notin\mathbb{Z}_p^*$ ,
(2) $\Leftrightarrow x^2=1$ a toujours les solutions $\pm 1$ qui constituent une orbite à deux éléments, et
(3) $\Leftrightarrow x^2=-1$ a deux solutions $\pm \omega$ ssi $-1$ est un carré modulo $p$ .
$\pm \omega$ constituent alors une orbite à deux éléments.

Si $p=4n+3$ alors $|\mathbb{Z}_p^*| = 4n+2$ et on a des orbites de 4 éléments
plus une, "obligatoire" de deux éléments; $-1$ n'est pas un carré modulo $p$ .

Si $p=4n+1$ alors $|\mathbb{Z}_p^*| = 4n$ et on a des orbites de 4 éléments
plus une, "obligatoire" de deux éléments, plus une seconde orbite de deux éléments; $-1$ est un carré modulo $p$ .

Pour obtenir en même temps les caractères quadratiques de $-1$ et $2$ :

Le groupe d'ordre 8 engendré par les fonctions homographiques
$f: x\mapsto 2-x$ et $g: x\mapsto 2/x$ opère sur le projectif $\overline{\mathbb{Z}_p} = \mathbb{Z}_p \cup\{\infty\}$ .
Les orbites ordinaires sont d'ordre 8 .
Il y a une orbite d'ordre 4 si $x=f(x)$ , une autre orbite d'ordre 4 si $x=g(x)$
et une orbite d'ordre 2 si $f(x)=g(x)$ .

Ensuite on a les cas
$p=8n+1 : |\overline{\mathbb{Z}_p}| = 8n+2=8(n-1)+4+4+2$
$p=8n+3 : |\overline{\mathbb{Z}_p}| = 8n+4$
$p=8n+5 : |\overline{\mathbb{Z}_p}| = 8n+6=8n+4+2$
$p=8n+7 : |\overline{\mathbb{Z}_p}| = 8(n+1)=8n+4+4$

Il y a toujours au moins une orbite d'ordre 4 : celle qui contient 1 .

Je n'ai rien trouvé pour prouver la loi de réciprocité quadratique.