Anneau quotient fini

C'est une question qui peut être compliquée. En particulier $A/I$ n'est pas toujours fini du tout ($\mathbb Z[X]/(X)$...)

Ici ça a plus un lien avec le fait que $\mathbb Z$ est euclidien avec un stathme $\psi$ tel que $\{x\mid \psi(x) < n \}$ est fini pour tout $n$. Mais cette "propriété générale" ne te dira certainement rien qui ne soit pas évident (par exemple $k[x]/(P)$ lorsque $k$ est un corps fini)

Soit $L$ un corps de nombres et $\mathcal O_L$ l'anneau de ses entiers algébriques.
Soit $I$ un idéal non nul de $\mathcal O_L$.
Alors $\mathcal O_L/I$ est fini.

Salut Chat-maths,

Pas mal mais je trouve mon résultat encore plus cool (et encore plus proche de $\mathbb Z$ en quelque sorte). B-)-

gai requin http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2071928,2071958#msg-2071958 j'ignorais ce résultat, c'est cool ! bien mieux que le mien :-D C'est facile à prouver ?

code_name : un polynôme est déterminé par ses coefficients. Combien de polynômes peuvent être de degré $<n $ ?

@Max: Une tentative de preuve, probablement bien trop technologique pour ce que c'est mais je suis pas très bon pour les trucs simples (:P), et surtout que ça fait longtemps (en fait pas si longtemps mais j'ai mauvaise mémoire) que j'ai bossé ces trucs:

$\mathcal{O}_K$ est un anneau de Dedekind donc
- Il est de dimension 1
- Tout idéal s'écrit de manière unique comme produit de puissances d'ideaux premiers (en fait je planque un peu la difficulté la dessous, c'est vraiment le point clé du truc, mais c'est assez classique).

Et en tant que groupe, $\mathcal{O}_K$ est un $\mathbb{Z}$-module de type fini.

Du coup, on prend $I$ non nul, on l'écrit $I := \prod_i^m \mathfrak{p}_i^{n_i}$, les $\mathfrak{p}_i$ sont non nuls et par la dimension, ils sont maximaux. Les $(\mathfrak{p}_1,\ldots,\mathfrak{p}_m)$ sont deux a deux comaximaux, donc il en est de même des $\mathfrak{p}_i^{n_i}$ (écrire $1 = a + b$ où $a \in \mathfrak{p}_i, b \in \mathfrak{p}_j$ et mettre à la bonne puissance), par restes chinois, $\mathcal{O}_K/I\mathcal{O}_K \cong \prod \mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_i^{m_i}\mathcal{O}_K$. Suffit donc de montrer que les $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_i^{m_i}\mathcal{O}_K$ sont finis.

Maintenant, $\mathcal{O}_K$ est une $\mathbb{Z}$-algèbre de type fini et $\mathfrak{p}_i$ étant maximal, $\mathfrak{p}_i \cap \mathbb{Z} = (p_i)$ pour un nombre premier $p$ (c'est essentiellement équivalent à ce que je disais sur les $\mathbb{Z}$-alg de type fini), donc $p^{m_i} \in \mathfrak{p}_i^{m_i}$, donc $p^{m_i}\mathcal{O}_K \subset \mathfrak{p}_i^{m_i} \subset \mathcal{O}_K$ et $\mathcal{O}_K/p^{m_i}\mathcal{O}_K$ est un groupe abélien de type fini de torsion et est donc fini, et donc $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_i^{m_i}\mathcal{O}_K$ est fini.

Edit: la preuve de b.b ci-dessous est bien mieux et bien plus simple (:D, ça m'apprendra à parler de ce que je ne maitrise pas :P