Extension d'un idéal premier

Salut b.b.
Je me permets quelques remarques. Tout d'abord, dans le contexte suivant : $A \subset B$ deux anneaux commutatifs, on dit extension (et pas augmentation) pour l'opération suivante $I \mapsto IB$, $I$ idéal de $A$. Dans l'autre sens, on dit contraction, pour $J \mapsto J \cap A$, $J$ idéal de $B$.

Mais surtout, ton contexte est beaucoup trop chargé. Avec un énoncé général cela sera beaucoup plus simple, je t'assure. Soient $A \subset B$ avec $B$ ENTIER SUR $A$ et $I$ un idéal de $A$. Alors si $IB = B$, c'est que $1 \in I$ i.e. $I = A$. Et de plus, il n'y a plus de négation (sais tu que je suis un gars capricieux ?).

Contrairement à une idée reçue, $I$ de type fini n'a rien à voir avec la choucroute : la finitude est dans l'hypothèse quand on écrit que $1 \in IB$, cela fait intervenir un nombre fini d'éléments
$$
1 = \sum_{i=1}^n a_i b_i \qquad a_i \in I, \qquad b_i \in B
$$En posant $B' = A[b_1, \cdots, b_n]$, c'est un $A$-module de type fini tel que $IB' = B'$. C'est $B'$ qui est responsable, pas $I$.

Note : en ce qui concerne la conséquence (à énoncer) de l'égalité $IE = E$ où $E$ est un $A$-module et $I$ un idéal de $A$, c'est l'hypothèse $E$ de type fini qui va jouer, pas celle de $I$.

Rebonjour b.b.
Ci-dessous une occasion d'en faire plus si tu veux bien, en utilisant toujours le même trick de base (the determinant's trick). Contexte : une inclusion d'anneaux commutatifs $A \subset B$ avec $B$ ENTIER sur $A$ et $I$ un idéal de $A$.

1. Quid de la contraction de l'extension ? Réponse : $IB \cap A \subset \sqrt {I}$. I.e. pour tout $x \in IB \cap A$, il existe $n$ tel que $x^n \in I$.
Cas particulier $IB = B$.

2. Plus fort : tout élément de $IB$ est entier sur l'idéal $I$. Précision : on dit que $x \in B$ est entier sur un idéal $I$ de $A$ s'il existe une équation de dépendance intégrale de $x$ sur $A$ du type :
$$
x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \cdots + a_n = 0 \qquad \text{avec} \quad a_1 \in I, \ a_2 \in I^2, \cdots,\ a^k \in I^k
$$
Remarque 1. Tu dois bien disposer d'ouvrages, de documents, où intervient la notion de ``entier sur un anneau''. Et il doit bien y avoir des résultats du type ``si ceci-cela alors $x$ est entier sur $A$'' si $A$ est le nom de l'anneau de base. Si tu ANALYSES bien certaines preuves, tu pourras constater qu'il y a souvent un idéal $I$ de $A$ qui ne figure pas dans l'énoncé mais seulement dans la preuve et que l'on y démontre en fait que $x$ est entier sur l'idéal $I$. Si, si, je t'assure.

Remarque 2. Cette notion de ``entier sur un idéal'' figure chez certains auteurs. On la trouve également dans les exercices de Bourbaki Algèbre Commutative, mais pas dans le chapitre V (Entiers) comme on pourrait s'y attendre. On la trouve dans l'exercice 8 de la section $\S7$ du chap VIII (Dimension), page 104 (voir aussi les exercices qui suivent). On ne peut pas en vouloir à Dieudonné de ne pas l'avoir mis là où il faut car ce n'était peut-être pas si facile d'assurer la gestion de milliers d'exercices.

Rebonjour b.b.

J'ai parfois tendance à oublier cette forme du determinant's trick qui utilise un endomorphisme. Et qui n'est pas étrangère au théorème de Cayley-Hamilton. Ce n'est pas nécessairement un abus de dire que $\phi$ est entier sur $I$ puisque l'on peut considérer l'anneau commutatif $B := A[\phi]$.

On voit donc que cet outil de base n'est pas si compliqué, une fois bien dégagé par les autres. Et figure toi que je viens de comprendre quelque chose. Matsumura, dans son Commutative Ring Theory, donne très tôt ce résultat (pages 7, 8) en citant d'ailleurs Atiyah & Macdonald (ainsi que l'allusion au théorème d'Hamilton Cayley).

Et il donne à l'un des énoncés le nom NAK, énoncé suivi d'une remarque. J'attache. Je pensais jusqu'à maintenant que chez lui (Matsumura), NAK était un acronyme pour Nakayama. Et je comprends maintenant que c'est pour Nakayama & Azumaya & Krull.