Coefficients d'un polynôme
Bonjour,
comment résoudre cet exercice.
Combien de coefficient (au minimum) de P, tel que (X-1)^k divise P, sont non nuls ?
J'ai essayé avec la formule de Taylor : rien/
J'ai essayé k=1, on trouve 2, puis k=2, on trouve 3 ce qui laisse penser que pour k c'est k+1. Mais je coince dans la récurrence.
Merci de votre aide.
comment résoudre cet exercice.
Combien de coefficient (au minimum) de P, tel que (X-1)^k divise P, sont non nuls ?
J'ai essayé avec la formule de Taylor : rien/
J'ai essayé k=1, on trouve 2, puis k=2, on trouve 3 ce qui laisse penser que pour k c'est k+1. Mais je coince dans la récurrence.
Merci de votre aide.
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Réponses
une piste qui aboutit me semble-t-il : remarquer qu'un polynôme est divisible par $X-1$ si et seulement si la somme de ses coefficients est égale à $0$ et ensuite utiliser de l'algèbre linéaire.
Une remarque sur l'énoncé : il faut préciser que $P$ est non nul.
LP
Pour tout $P \in \C[X]\setminus \{0\},\:$ notons $ \nu(P)$ le nombre de ses coefficients non nuls.
$$\boxed{\forall P \in \C[X]\setminus \{0\},\quad(X-1)^k \mid P \implies \nu(P) \geqslant k+1.}$$
En effet, soit $P(X) = \displaystyle \sum _{i=0}^n a_iX^i$ un polynôme divisible par $(X-1)^k,$ avec $n\geqslant k,\:\: a_n \neq 0,\:\: $ et supposons que $\nu(P)\leqslant k. $
$\exists \mathcal I \subset [\![0;n]\!]\:\:\text{tel que}:\:\:\#\mathcal I= k, \:\: n\in \mathcal I,\quad i\notin \mathcal I \implies a_i =0.\qquad$ Notons $P_0(X)=1;\:\:\forall s \in \N^* ,\:P_s(X)= \displaystyle \prod_{j=0}^{s-1} (X-j).$
$\forall s \in [\![0;k-1]\!],\:\:0= P^{(s)}(1) = \displaystyle \sum_{i=0}^n a_iP_s(i)=\sum_{i\in\mathcal I} a_iP_s(i).\quad$ Or il est "connu" (déterminant de Vandermonde) que:
$\:\:\det\Big(P_s(i) \Big)_{\substack{0\leqslant s\leqslant k-1\\i\in \mathcal I}} =\displaystyle \prod_ {i,j \in \mathcal I,\:i<j }(j-i) \neq 0.\qquad$ Il s'ensuit que: $\:\forall i \in \mathcal I,\:a_i=0,\:\:$ et cela contredit $n \in \mathcal I\:\square$
finalement j'avais trouvé la même méthode que LOU16.
A plus,
bestM
C’est que tu portes bien ton pseudo !
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]