Localisation, corps des fractions

Homo Topi
Homo Topi
dans Algèbre
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire et $S$ une partie multiplicative de $A$. Je note :
- $(A_S,l_S)$ le localisé de $A$ par rapport à $S$
- $Frac(A),f)$ le corps des fractions de $A$
- $Frac(A_S,f_S)$ le corps des fractions de $A_S$
chacun avec son morphisme et sa propriété universelle associés.

Je pense que $Frac(A_S) \simeq Frac(A)$, en tout cas ça parait trop logique pour être faux : rendre inversibles tous les éléments (sauf $0$) non inversibles de $A_S$, qui est l'anneau dans lequel les éléments de $S$ déjà ont été rendus inversibles, et juste rendre inversibles tous les éléments (sauf $0$) de $A$, ça m'étonnerait que ça puisse ne pas être la même chose.

J'ai juste un peu de mal à jongler avec 3 propriétés universelles en même temps.

$f_S \circ l_S : A \longrightarrow Frac(A_S)$ est un morphisme injectif vers un corps, donc on peut appliquer la PU de $f$ : il existe un unique morphisme $m : Frac(A) \longrightarrow Frac(A_S)$ tel que $f_S \circ l_S = m \circ f$. Comme $m$ est un morphisme de corps, il est injectif.

De plus, l'inclusion $\iota : A_S \longrightarrow Frac(A)$ est un morhisme injectif vers un corps, donc on peut appliquer la PU de $f_S$ : il existe un unique morphisme $m' : Frac(A_S) \longrightarrow Frac(A)$ tel que $\iota = m' \circ f_S$. Comme $m'$ est un morphisme de corps, il est injectif.

Grâce à Cantor-Bernstein, je sais donc déjà que $Frac(A)$ et $Frac(A_S)$ sont en bijection. Cantor-Bernstein ne me dit pas que si j'ai deux morphismes injectifs de chaque structure vers l'autre, alors j'ai un morphisme bijectif entre les deux. Mais ça serait sympa si c'est vrai, parce que du coup il ne resterait plus grand-chose à écrire pour finir de répondre à la question.

Du coup, je m'en sors comment ?

Réponses

  • AD
    AD
    Bonsoir
    Est-ce le schéma illustrant ton problème ? $$
    \xymatrix{
    A \ar[r]^{l_S} \ar[d]_{f} & A_S \ar[dl]_{\iota} \ar[d] ^{f_S} \\
    Frac(A) \ar[r]^{m} &Frac(A_S) \ar@<1ex>[l] ^{m'}
    } $$ Alain
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Tout à fait ! Oui c'est mieux avec.
  • claude quitté
    claude quitté
    $\def\Frac{\text{Frac}}$Coucou
    Cantor-Berstein n'a rien à voir là dedans.
    D'autre part, ton contexte est trop général : si tu veux que $\Frac(A)$ soit un corps, il faut supposer $A$ intègre. Dans ce cas là, tout deviendra une évidence car on aura les inclusions :
    $$
    A \subset A_S \subset K := \Frac(A)
    $$Et tout anneau coincé antre $A$ et $K$ a pour corps des fractions $K$. Stop aux flèches qui sont des inclusions canoniques.

    Enfin, pour un anneau commutatif quelconque $A$, $\Frac(A)$ c'est le localisé en la partie multiplicative constituée des éléments réguliers. Et pas des éléments non nuls. C'est impossible de rendre inversible dans un sur-anneau de $A$ un élément de $A$ qui n'est pas régulier !
    Bref, de toutes manières, la définition que je viens de donner de $\Frac(A)$ est la bonne, l'officielle, qui fait que $A \hookrightarrow \Frac(A)$ CANONIQUEMENT.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Merci Claude, pour le coup, l'exemple qui m'intéresse c'est effectivement $A$ intègre : c'est un anneau de polynômes à plusieurs indéterminées et à coefficients dans un corps.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je vais détailler un peu plus (ça va recouper avec le fil "lemme de Zariski" mais pas grave).

    Lien vers la preuve du lemme de Zariski sur laquelle je travaille : ici (dérouler la boîte "Démonstration").

    Je comprends tout jusqu'au dernier point. Les clôtures intégrales, je ne connais ça que de loin, donc je voulais en profiter pour un peu m'informer sur ça.

    Ils disent : supposons $x_0$ transcendant sur $K$ (ça je sais ce que ça veut dire), alors $K[x_0]_f$ est intégralement clos. Alors, ça, ça veut dire que la fermeture intégrale de $K[x_0]_f$ dans $Frac(K[x_0]_f)$ est $K[x_0]_f$ lui-même.

    $K[x_0]_f$, je sais qui c'est normalement. Par contre, son corps des fractions, pour moi c'est un peu plus difficile. Puisque $x_0$ est transcendant sur $K$ par hypothèse, $K[x_0] \simeq K[X]$ et $Frac(K[X]) \simeq K(X)$, donc je suis en terrain connu si on oublie la localisation. $Frac(K[X]_f)$, je ne savais pas trop qui c'est, mais je pensais que c'est encore $K(X)$. Claude a confirmé ça, puisque ici $A=K[X]$ est intègre.

    Bon, donc en gros, pour comprendre ce morceau de démonstration, j'ai tout intérêt à étudier la fermeture intégrale d'un localisé $K[X]_S$ dans $K(X)$, je crois.
  • b.b
    b.b
    $\DeclareMathOperator{\Frac}{Frac}$Salut à vous deux.

    Homo Topi, il faut ajouter la condition $0\notin S$ (sauf si ça fait partie de ta définition de partie multiplicative).

    Si $A$ est un anneau intégralement clos (c.-à-d. intègre + égal à sa clôture intégrale dans son corps de fractions) et $S$ est une partie multiplicative de $A$ telle que $0\notin S$, alors $A_S$ est intégralement clos. Pour le démontrer, on écrit $A\subset A_S\subset K=\Frac(A)=\Frac(A_S)$ comme expliqué dans le post de Claude (sans ces identifications, c'est pénible).

    Il y a deux choses à voir : $A_S$ est intègre car c'est un sous-anneau d'un corps.

    La clôture intégrale de $A_S$ dans $K$ est égale à $A_S$ (on prend un élément de $K$ entier sur $A_S$ et on montre qu'il appartient à $A_S$).
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Oui, par définition $0 \notin S$. Les parties multiplicatives contenant $0$ ont-elles un intérêt quelque part ? (vraie question).
  • b.b
    b.b
    Mystère. :-D

    Le dernier point te paraît évident ? Avec ça, tu as la réponse à ta dernière question : comme $K[X]$ est intégralement clos, $K[X]_S$ l'est aussi.
  • claude quitté
    claude quitté
    Homo Topi
    Puisque dans ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,2047416,2062154#msg-2062154 on a travaillé sur le sujet (Lemme de Zariski), je t'en fais part. Un pdf de mézigue y est attaché.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Merci, je regarderai ça !
  • Maxtimax
    Maxtimax
    L'intérêt d'autoriser $0\in S$ dans la définition de partie multiplicative est que parfois dans ta preuve tu as un $S$ que tu ne comprends pas tout à fait qui apparaît, et que tu veux localiser par lui.
    En particulier, si tu ne sais pas prouver que $x\neq 0$ (ce qui est en général difficile si tu as un $x$ que tu ne comprends pas), tu ne pourras pas prouver que $0\notin S$.
    Mais c'est de toute façon une restriction pas très utile puisque essentiellement tout marche aussi bien lorsque $0\in S$ (sauf pour des questions d'intégrité)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 17

ADDr GeodingusJaymzVassilliabiguine_equationm.c1 +11 Invités