Radical d'un idéal

Homo Topi · July 2020

Je suis en train d'essayer de comprendre ceci.

Pour moi, une variété algébrique affine, c'est le spectre maximal d'une algèbre de type fini, donc c'est le spectre maximal d'un truc de la forme $k[X_1,...,X_n]/I$. Dans le lien que j'ai donné, cependant, il y a un petit détail qui change : ce n'est pas "juste" par un idéal qu'on quotiente mais par le radical de cet idéal. Curieux.

A en croire ce lien, le radical d'un idéal $I$, c'est un idéal qui contient $I$, donc il est plus grand, et donc le quotient sera plus petit. J'aimerais comprendre quel est l'intérêt d'annuler plus d'éléments, de prendre le radical au lieu de l'idéal lui-même. Je suis sûr qu'il y a une bonne raison, mais elle ne me saute pas aux yeux.

708 · July 2020

D’une certaine façon, tu obtiens le même anneau mais sans les éléments nilpotents.
Cette opération me change pas le spectre (a fortiori le spectre maximal).

christophe c · July 2020

La raison est très bête.

Lorsque tu raisonnes avec des lettres, des calculs et de la logique sur des corps, tu te retrouves parfois à prouver qu'un truc est nul (parce que le rendre inversible rend contradictoire tes hypothèses).

Mais hélas, la seule chose que ça entraine c'est qu'une PUISSANCE DE TON EXPRESSION est dans l'idéal qui traduit tes hypothèses.

Cela est dû au fait que les raisonnements logiques s'autorisent l'axiome $A\to (A$ et $A)$.

Mais comme en fait tes expressions sont CENSEES faire vivre dans ton cerveau des idées d'éléments de corps, mais inconnus, donc tu gères des lettres, et bé, l'application de l'axiome $a^2=0 \to a=0$, qui est un axiome (et même un théorème dans un corps) ne se fait pas "toute seule".

En résumé: si hypotheses => $Tonton=0$, ce qu'il va se passer c'est que $$IdealTraduisantHypotheses\ni Tonton^n$$ pour $n$ assez grand, mais pas forcément pour $n=1$.

MrJ · July 2020

Essayes d’étudier l’exemple des équations $X=0$ et $X^2=0$ dans $K[X]$. Tu constateras que ça ne change rien.

C’est un des intérêts de l’introduction des schémas : les schémas associés aux deux équations précédentes sont distincts, mais ils ont les mêmes points. Cette distinction n’existe pas avec l’approche géométrique.

Homo Topi · July 2020

Christophe : je n'ai rien compris.

MrJ : "étudier" comment ? Trouver les solutions ? Si c'est ça, quel rapport ?

christophe c · July 2020

HT: tu demandes:

J'aimerais comprendre quel est l'intérêt d'annuler plus d'éléments, de prendre le radical au lieu de l'idéal lui-même

Après ma réponse tu écris :

Christophe : je n'ai rien compris.

Alors je te précise que j'ai traduit ta question en : pourquoi est-il nécessaire d'adopter la convention du radical dans cette spécialité géométrique?

Je n'ai pas traité du tout la suffisance.

La nécessité vient de ce que l'ensemble des $(x,y)\in \R^2$ tels que $(y-5x)^{269814368} = 0 $ tu t'en fous, pour toi c'est la droite d'équation $[y=5x]$

Pour autant avec l'anneau $\R[X,Y]$, si tu parviens à prouver que $Y-5X \in $ l'idéal engendré par $(Y-5X)^{269814368}$, ne publie surtout pas ta preuve, annonce que tu as résolu les 6 problèmes restant du millenium, prends un avocat et revendique les 6000000 de dollars.

Et là, seulement, amène ta preuve.

Maxtimax · July 2020

Alors peut-être faudrait-il préciser à HT pourquoi tout le monde lui parle de solutions à des équations : un morphisme de $k$-algèbres $k[x_1,...,x_n]/I\to k$ (ou plus généralement $\to L$, $L$ une $k$-algèbre) c'est équivalent à une famille $(a_1,...,a_n)\in k^n$ tel que pour tout $P\in I, P(a_1,...,a_n) = 0$.
Ainsi, le spectre de $k[x_1,...,x_n]/I$ est fortement lié aux solutions des équations $P(x_1,...,x_n) = 0$ dans les $k$-algèbres.

Homo Topi · July 2020

Ne le prends pas mal, mais, qu'est-ce que je suis censé faire de tes réponses ?

Je ne suis pas le premier à te dire, sur ce forum, que quand tu réponds à une question, on ne comprend pratiquement rien à ce que tu racontes. C'est gentil de ta part, de vouloir aider, mais tu pars toujours dans un charabia verbeux où on ne comprend rien à ce que tu veux dire, et ça enlève l'intérêt de tes réponses. Je n'ai pas envie de juste ignorer ce que tu racontes, mais pourrais-tu [size=x-large]par pitié[/size] raconter des choses mathématiques claires qui sont entièrement en rapport avec la question posée ? Merci.

Je vais essayer de t'apprendre comment un cerveau normal fonctionne.

Lorsque tu raisonnes avec des lettres, des calculs et de la logique sur des corps, tu te retrouves parfois à prouver qu'un truc est nul (parce que le rendre inversible rend contradictoire tes hypothèses).

Là comme ça, ça a l'air hors-sujet. Je suis dans un anneau. Dans un anneau, si un idéal contient un truc inversible, alors c'est l'anneau tout entier et pas un idéal propre. Effectivement, on ne gagne rien à se placer dans un idéal s'il n'est pas propre, puisque tout l'intérêt de travailler dans un idéal, c'est de ne pas se farcir l'anneau entier et d'avoir des hypothèses supplémentaires sur les éléments qu'on manipule.

Mais hélas, la seule chose que ça entraine c'est qu'une PUISSANCE DE TON EXPRESSION est dans l'idéal qui traduit tes hypothèses.

Déjà, pas la peine de CapsLock, sur internet les gens perçoivent ça comme se faire crier dessus (le texte en gras/italique/souligné ça suffit).

Ensuite, tu me parles de corps, puis d'idéal. Dans un corps, la notion d'idéal est sans intérêt, donc je ne vois pas où tu veux aller quand tu dis ça. Ensuite, pourquoi la seule chose que mes hypothèses (hypothétiques, je ne sais pas de quoi tu parles) entraîneraient se traduirait sur une puissance d'une expression, et non pas sur l'expression elle-même ? Tu le dis comme ça, sans rien justifier, sans donner un exemple... c'est un peu le B A BA de la pédagogie, non ? Quand on veut répondre à une question...

Mais comme en fait tes expressions sont CENSEES faire vivre dans ton cerveau des idées d'éléments de corps, mais inconnus, donc tu gères des lettres, et bé, l'application de l'axiome $a^2 = 0 \rightarrow a=0$, qui est un axiome (et même un théorème dans un corps) ne se fait pas "toute seule".

Je suis d'accord que $a^n = 0$ n'implique pas automatiquement $a=0$ dans un anneau non intègre, puisqu'il existe potentiellement des éléments nilpotents. Mais toi, tu me dis que ce n'est pas automatique dans un corps, alors que si, ça l'est ! Puisque c'est un théorème (valable dès qu'on est dans un anneau intègre).

fin de ton message

Donc en fait tout ce message servait à dire que si, d'après mes hypothèses, un truc est nul, alors une de ses puissances est dans un idéal ? C'est évident, puisque si un truc est nul, il est dans tout idéal de tout anneau... et ce dès $n=1$, justement.

Tu n'as rien expliqué. Tu as dit plein de choses, sans les justifier, et elles ont l'air hors-sujet. Comment je suis censé comprendre quelque chose avec ça ?

_________________________________________________________________________

Dans ton deuxième message, tu prends le problème dans l'autre sens. Tu pars de "(machin)$^n = 0$" pour dire que c'est "machin $=0$" qui compte. Dans $\R$, certes, ça marche, mais dans un anneau quelconque ? Effectivement, prouver que $x \in \langle x^n \rangle$ dans le cas général, c'est compromis. Mais quel est le rapport avec la question que j'ai posée ? Là encore, B A BA de la pédagogie, tu pars dans des trucs au loisir de tes synapses sans finir par revenir à la question à laquelle tu voulais répondre. C'est à moi de comprendre en quoi ta réponse est une réponse à ma question ?

Crois-moi que je suis désolé d'être un peu sec avec toi, mais ça fait au moins 2 ans qu'on te dit régulièrement et gentiment que tes interventions sont assez indigestes.

christophe c · July 2020

Pour la suffisance je n'ai pas voulu l'embêter avec le TDZ (qui dit que ça revient au même d'étudier les quotients par des idéaux primaux (nom?) que d'étudier les courbes algébriques) parce que ni IR ni IQ ne sont alg clos.

christophe c · July 2020

Ne t'inquiète pas tu n'es pas sec. J'avais effectivement considéré à tort qu'il allait de soi que tu comprendrais que je te répondais à propos de l'anneau des polynômes (à plusieurs indéterminées) sur un corps mis que comme on l'etudie en vue des équations de courbe il est nécessaire de prendre le radical puisque l'idéal des polynômes nuls sur toute la courbe est forcément radical. C'était écrit dans ton premier post donc je ne l'ai pas répété

Homo Topi · July 2020

Ce n'est pas exactement ça que j'ai écrit dans mon premier message, attention. J'ai dit qu'à mon sens, il faudrait quotienter par "juste" un idéal (ici, forcément, un idéal engendré par une famille finie de polynômes), alors qu'en géométrie algébrique, c'est par le radical d'un tel idéal qu'on quotiente, et pas par l'idéal "juste lui-même".

A aucun moment, je n'ai dit qu'un idéal engendré par des polynômes qui s'annulent tous quelque part est forcément radical. Cela dit, si c'est vrai, c'est plutôt bon à savoir pour moi...

christophe c · July 2020

Non seulement c'est vrai mais c'est évident. C'était le sens de mon post. Le côté poésie bruyante n'était pas de la négligence mais pour empêcher lecture superficielle. Je le fais souvent pour que le lecteur "plonge" dans la cogitation.

Avec le risque qu'il sorte un bouclier anti cc qui le fera esquiver l'invitation. A toute médaille son revers.

christophe c · July 2020

Je n'ai pas lu ton lien du premier post et n'y connais rien en géométrie algébrique (qui m'intéresse assez peu dans le sens que j'aime bien les anneaux mystérieux, pas les anneaux de polynômes), mais d ece que je perçois de, comme tu dis, "ta situation d'apprenant" (je te cite) :-S , je te tente un petit topo qui risque peu de t'être raconté par quelqu'un d'autre puisque je puise des ressources dans la critique du fric trop abondant attribué à ces activités (au détriment d'autres, pas dans l'absolu).

Les grands mots (catégories, machins annelés, etc) sont essentiellement des "outils internes" qui ont dû se mettre en place avec le temps et les artisanats centenaires. Te l'ingurgiter parce que tu as peut-être été inconsciemment happé par la pub actuelle catégoriciano-homotopico-mondiale (dont j'ignore réellement les motivations) n'est peut-être pas le plus économique des choix.

Au post suivant (même si tu en penses du mal), je t'offre un petit socle philosopheux pour garder du recul par rapport à tout ça.

Homo Topi · July 2020

Disons que j'essaie d'être pragamtique.

"Dans l'absolu", la géométrie algébrique ça a l'air d'être (pour moi, un apprenant débutant) l'étude de machins décrits par des équations polynomiales. Bon, pas la peine d'en faire tout un plat, effectivement.

MAIS.

Beaucoup des cours que je trouve complets (suffisamment complets pour moi) font usage abondant des catégories, faisceaux, espaces localement annelés... donc c'est juste mieux de comprendre ce formalisme. Evidemment, mon objectif est de comprendre la correspondance entre le point de vue "hyper abstrait" et le point de vue plus terre-à-terre. Comme ça peux jongler avec les deux selon les supports que j'utilise pour apprendre.

En tout cas, dans ce que tu as dit, j'ai surtout retenu "théorème des zéros". C'est lui qui a l'air d'être le dictionnaire bilingue entre la géométrie et l'algèbre, que l'algèbre soit présentée ultra-formellement ou pas.

christophe c · July 2020

Soit $A$ un anneau. Tu peux faire de la logique dedans.

1/ Les phrases sont les idéaux.

2/ L'idéal X=>Y est l'ensemble des $u\in A$ tels que pour tout $x\in X: ux\in Y$.

3/ Avec l'implication, tu as toute la logique.

4/ En plus c'est complet (tu as toutes les conjonctions, pas seulement celles qui sont finies)

5/ La logique ainsi obtenue ne vérifie pas l'axiome (A=>(A=>B))=>(A=>B)

6/ Elle est donc "encore plus faible" que la logique intuitionniste.

7/ Le vrai est l'anneau $A$ tout entier et le faux est l'idéal nul. La négation de X est son annulateur, ie (X=>(0))

8/ Soit $K$ un corps, $X_1,..,X_n$ des indéterminées et $A:=K[X_1,..,X_n]$.

9.1/ Certains idéaux $J$ de $A$ sont tel qu'il existe $E\subset K^n$ tel que $J=\{P\in A\mid \forall x\in E: P(x)=0\}$.

9.2/ Je noterai $J=\phi(E)$ quand ça arrive.

10/ Ces idéaux sont tous primaux, ie vérifient $\forall u: u^2\in J\to u\in J$

11/ Ca montre que si on se restreint à ces idéaux, on "retrouve" plutôt la logique intuitionniste (qu'on avait perdue en (5) ci-dessus).

12/ On a donc une vie harmonieuse des gens qui aiment la logique intuitionniste avec les gens qui aiment les courbes algébriques qui s'annonce.

13/ Si $K$ est algébriquement clos, tu as un célèbre théorème, celui des zéros de Hilbert qui dit qu'il SUFFIT à un idéal d'être primal pour être de la forme $\phi(UnePartieDe(K^n))$

14/ Donc tout baigne: jouer avec les courbes algébriques, c'est jouer avec les idéaux primaux de $A$.

15/ La suite de la G.A. n'ignore pas pour autant les idéaux non primaux. Mais elle donne aux petites crottes qu'ils laissent dans le paysage des petits noms doux comme "multiplicités".

16/ Par exemple, les G.A. istes racontent que l'unique élément de $\{x\in K\mid x^2=0\}$ est "double" (il pèse en quelque sorte deux fois plus lourd que l'unique élément de $\{x\in K\mid x=0\}$

17/ Donc ne t'inquiète pas, tout est bon dans le cochon: les idéaux non primaux, sortis par la porte reviendront un jour par la fenètre si tu veux faire de la G.A.

18/ Maintenant "the real question": pourquoi faire de la G.A.? C'est dur, ça permet de se faire des amis à Ulm et dans les symposiums de maths internationaux, et de kiffer des raisonnements horribles accouchant de temps à autre que telle nouvelle équation diophantienne n'a pas de solution.

19/ Sauf si tu veux draguer du surdoué mondial, la G.A. n'est pas non plus la panacée scientifique. La théorie quantique a un effet catalyseur de bonheur bien plus important.

christophe c · July 2020

20/ Pardon j'ai oublié: tu peux aussi faire un peu de topologie car tu disposes de la fermeture suivante:

$$ GAadherence (E) := \{x\in K^n\mid \forall P\in \phi(E) : P(x)=0 \}$$

21/ Les bons ouverts d'un espace topologique forment une algèbre de Boole et les ouverts quelconques une algèbre de Heyting (ie un modèle de la logique intuitionniste).

22/ Avec cet espace topologique, tu as donc une "deuxième façon" de faire de la logique intuitionniste et sauf erreur de ma part, je crois que c'est la même que la façon évoquée ci-dessus pour les corps algébriquement clos, et que le TDZ est ainsi dit de cette autre façon.

23/ Comme tu as peu d'ouverts et peu de fermés dans cet espace (qui n'est pas du tout $T_2$), il se téléprote en .. une topologie appelée, je crois topologie de Zariski (ensemble des idéaux premiers, topologie engendrée par le fait que "ne pas contenir un élément" est un ouvert)

pshiit, je voulais pas m'arrêter à 23, mais tant pis (et j'ai bien lu ton dernier post). Chacun est libre. Je devinais tes influences comme tu as vu :-D

christophe c · July 2020

Je cherchais un 24 :-D

24/ Si tu veux "jouer" au cowboy (ie au géomètre algébriste) je pense qu'un conseil avisé me parait le suivant: amuse-toi à prouver le théorème de Bezout.

25/ Voici ce qu'il dit:

25.1/ soit $P(X,Y); Q(X,Y)$ dans $K[X,Y]$ avec $K$ corps algébriquement clos.

25.2/ Je note $\tau(R):=\{(x,y)\in K^2\mid R(x,y)=0\}$ (pour tout $R$)

25.3/ On suppose que $E:=\tau(P) \cap \tau (Q) $ est fini.

25.4/ On décide de compter ses éléments (avec leur multiplicité, et en incluant ceux qui sont "à l'infini" (au sens projectif du terme), ce qui donne un nombre $a$

25.5/ Soient $n$ resp $p$ le plus haut degré d'un monome de $P$ resp $Q$. Prouve que $a=np$.

26/ Ce théorème est typiquement "dans l'esprit" de la G.A. et il y a un livre, je crois de D.Perrin qui a été écrit dessus.

27/ Tout le taf (ce résultat est "essentiellement idiot" sans connotation péjorative, car on "fait tout" pour obtenir ce qu'on voulait à coups d'hypothèses et de multiplicité, mais si ça n'avait pas suffi, on aurait trouvé autre chose à ajouter) est une histoire de rédaction et de mathématisation. En soi, il n'y a pas "grand-chose" d'étonnant (déformées et vues d'avion, dans un plan affine remixé sans cassure, donc sans tuer le caractère alg clos, les deux courbes sont l'une une réunion de $n$ droites parallèles, l'autre une réunion de $p$ droites parallèles, les $np$ points étant ceux du quadrillage obtenu). Par contre, c'est un taf de titan assez typique de cette spécialité (dont n'oublie pas qu'elle gère des produits de sommes, c'est à dire des développements de 4ième de collège qu'elle veut investiguer jusqu'au bout du bout)

28/ Après tu fais idem, mais dans $\R^3$ avec $npq$, et tu généralises à toutes les dimensions.

29/ A la fin tu seras un G.A. déniaisé prêt au combat :-D :-D :-D

christophe c · July 2020

Erratum: oublie "parallèles", j'ai un peu forcé sur l'euphorisant. Ca ne change rien.

Homo Topi · July 2020

Christophe : pour tes points 1/ à 4/ j'aimerais bien une illustration. J'ai du mal à voir ce que tu entends par "faire de la logique dans un anneau". Montre-moi, même avec des trivialités, juste que je voie de quoi tu parles. Merci (:D

christophe c · July 2020

Avec plaisir. Rappelle-toi que les phrases ont comme valeur DES IDEAUX. Je note $\to$ pour l'implication

1/ Calcule $(3)\to (9)$ dans l'anneau $\Z$.

Pour les quantificateurs:

$\forall R(x)$ est l'intersection des idéaux $R(x)$. (On peut préciser l'ensemble d'indice, par exemple $\forall x\in E: R(x)$, qui a un sens quand chaque $R(x)$ pour $x\in E$ est un idéal de ton annea de travail.

Prenons la valeur de la phrase $a=b$ comme étant l'idéal des $x$ tels que $x(a-b)=0$. (Il s'appelle l'annulateur de $a-b$).

2/ Prends comme anneau $\R[X] / (X^2)$. Dans cet anneau calcule la valeur de la phrase $X=0$.

3/ En logique, il y a deux axiomes très amusants et légèrement plus faibles tous les deux que le tiers exclus.

3.1/ $\forall R\exists a\forall y: (R(a)\to R(y))$
3.2/ $\forall R\exists a\forall y: (R(y)\to R(a))$

Caractérise les anneaux vérifiant (3.1) ainsi que ceux vérifiant (3.2).

(En précisant qu'un anneau est dit vérifier une phrase quand la valeur de cette phrase est l'anneau tou tentier).

4/ Caractérise les anneaux vérifiant $\forall A,B: [(A\to (A\to

)\to (A\to

]$. (Ce sont les anneaux qui vérifient toute la logique intuitionniste).

Ca te fait 4 exos de difficulté variées.

Remarque: un théorème célèbre dit que tout anneau vérifiant (3.1) vérifie aussi (3.2), autrement dit (3.1)=>(3.2) est un énoncé universellement vrai en théorie des anneaux (c'est un théorème d elogique annelée :-D ) , et je te propose l'exercice nettement plus facile:

5/ Trouver un anneau ne vérifiant pas (3.1)=>(3.2)

Homo Topi · July 2020

"Rappelle-toi" je ne vois pas quand je suis censé avoir appris ça...

Que veut dire "$(3) \rightarrow (9)$" en langage Christophe ?

christophe c · July 2020

Je t'ai mis toutes ces définitions dans les postes précédents. C'est à ça que renvoie le mot "rappelle toi". De mon téléphone

raoul.S · July 2020

cc a écrit:

Le côté poésie bruyante n'était pas de la négligence mais pour empêcher lecture superficielle. Je le fais souvent pour que le lecteur "plonge" dans la cogitation.

Ah ok c'est délibéré en plus...

christophe c · July 2020

(tu) Raoul

@HT: j'essaie de combler d'éventuelles conventions.

a/ J'utilise indifféremment $a\to b$ et a => b .

b/ Dans un anneau donné $(a)$ est li'déal $\{ax\mid x\in A\}$

c/ "bon ouvert" est synonyme de "intérieur de son adhérence"

Et enfin, rappel :

d/ $A\to B$ est l'idéal $\{u\mid \forall x\in A: ux\in B\}$ quand $A,B$ sont des idéaux.

e/ Un idéal $J$ est primal quand $\forall x: [$ si $x^2\in J$ alors $x\in J]$

f/ Un idéal $J$ est premier quand $\forall x,y: [$ si $xy\in J$ alors $(x\in J$ ou $y\in J)]$

g/ Un idéal $J$ est maximal quand il y a un unique idéal qui le contient strictement: l'anneau tout entier

h1/ $\sqrt{J}:=$ l'intersection des idéaux premiers qui contiennent $J$ et c'est aussi le plus petit idéal primal à contenir $J$.

h2/ $\sqrt{J}=\{x\mid \exists n\in \N : x^n\in J\}$

k/ Le radical de Jacobson d'un anneau est l'intersection de ses idéaux maximaux

m/ Le nilradical d'un anneau est l'intersection de ses idéaux premiers. C'est donc $\sqrt{(0)}$

n/ Noethérien = toute partie non vide de l'ensemble des idéaux d'un anneau contient un élément maximal pour l'inclusion

p/ Artinien = toute partie non vide de l'ensemble des idéaux d'un anneau contient un élément minimal pour l'inclusion

christophe c · July 2020

Comme je ne te connais pas, peut-être pourrais-tu aussi me préciser ton profil (le forum est anonyme, ça n'a pas d'incidence) matheux: études, modules spécialisés déjà étudiés, etc. Ca pourra m'aider à te proposer des exos adaptés, type de démarche (créatif, bête à concours, idéologie rédactionnelle,etc)

Homo Topi · July 2020

J'ai appris le programme officiel de l'agreg, pas plus (et même là, j'ai des lacunes). Je suis prof de maths, et semi-autodidacte à mes heures perdues.

Homo Topi · July 2020

J'ai une petite question :

Dans mon bouquin, dans la preuve que le radical d'un idéal est un idéal (dans un ACU), ils utilisent un résultat dont je ne suis pas convaincu. Ils écrivent que $(-a)^n = \pm a^n$.

Dans les anneaux qui contiennent $\mathbb{Z}$, je suis d'accord, parce que dans $\mathbb{Z}$, on peut montrer que $(-1)^2=1$. Mais dans un ACU quelconque, comment fait-on pour montrer que $(-1)^2=1$ est toujours vrai ?

christophe c · July 2020

HT a écrit:

J'ai appris le programme officiel de l'agreg, pas plus (et même là, j'ai des lacunes)

Merci pour l'info, oui, donc ça ne me permet pas tro de savoir si tu y as pris plaisir ou si tu t'es forcé. Si tu t'es forcé, tout est parti depuis que tu as été reçu (en simplifiant). Si tu y as pris plaisir, certaines points ont dû rester plus "émouvants" dans tes souvenirs. Par ailleurs, je ne suis pas spécialiste, mais capes comme agreg sont des recrutements de profs avec très peu de notions de fond infinitistes (sauf erreur on ne traite que les espaces métriques d'après une rumeur que j'ai entendue, etc) et "que des calculs" (même si y ont été ajouté un peu de déco pour faire joli).

L'avantage de ces sujets plus profonds c'est que c'est bien plus facile a priori (nécessite plus de réflexions philosophique et moins de "calculs bourrins"), mais il y a des démarches intimes d'acceptation qui te solliciteront souvent.

HT a écrit:

J'ai une petite question :

Dans tout ACU, $0^2 = 1 + 2\times (-1) + (-1)^2$, donc $(-1) + (-1)^2=0$

christophe c · July 2020

Je t'ai répondu pour ACU, mais la commutativité n'est pas utile: $(-1)^2 = 1$ dans tout anneau, pas forcément commutatif où $1$ est neutre à droite et gauche.

Homo Topi · July 2020

Pour l'agreg, je me suis forcé pour certaines choses (probas, Python...) et je n'ai pas été admis. Je l'ai raconté 150 fois sur le forum. Là, j'essaie de me réapprendre les maths pour savoir faire correctement les choses que je veux savoir faire. Entre le fait que je n'ai pas toujours eu de très bons cours et le fait que je n'étais mentalement pas toujours en état d'apprendre pendant mes études, il me manque pas mal de choses. On y travaille.

christophe c · July 2020

Bon courage!! Le PLAISIR et la PASSION sont importants. A ta disposition (quand je suis connecté) en tout cas.

[small](Et t'inquiète, moi non plus, je ne serais pas admis à l'agreg si je la passais et si ça peut te rassurer, plein de formateurs agreg (je ne parle pas des patrons de cursus qui sont plus généralistes) non plus: on recrute untel pour faire du python, untel pour de l'analyse, untel pour de l'algèbre, etc.)[/small]

christophe c · July 2020

Au fait, ne te tracasse pas pour $(-1)^n$, ça arrive à tout le monde (et c'est un dyscalculique qui te parle, si tu savais le nombre de fois où j'ai posté "ce machin X je n'y arrive pas SVP, help" sur des trucs de 5e, 4e )

Homo Topi · July 2020

Le truc c'est que j'ai l'impression d'avoir une mémoire "pour les structures" mais pas "pour les bidouilles". Je me suis rendu compte tout à l'heure que je ne savais plus quelle bidouille utiliser pour démontrer $|a-b| \geqslant \big||a|-|b|\big|$, c'est simple et je le comprends mais je ne le retiendrai pas. Je n'ai jamais réussi à retenir ces choses-là. Mais il y a d'autres trucs que je retiens très bien.

Après, il y a le fait que comme je me refais moi-même mon cours d'algèbre commutative (puisque celui que j'ai eu à la fac est pourri, et celui dans mon livre incomplet par endroits) en fonction des résultats dont j'ai besoin, ben, je n'avance pas avec beaucoup d'assurance et je me méfie des détails. Surtout que dans les anneaux, avec les histoires de caractéristique, intègre ou pas, les éléments doivent commuter, etc, il y a de quoi faire plus attention que nécessaire.

J'essaierai de déchiffrer ce que tout le monde m'a dit dans ce fil, ça fait beaucoup. Avec les autres fils à côté aussi. J'étais bien motivé il y a quelques jours et maintenant je suis surtout un peu fatigué.

christophe c · July 2020

Justement le côté infinitiste éradique les bidouilles.

Pour ton truc c'est juste la même chose que |(x-y) +y| <= |x-y|+|y|

Radical d'un idéal

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