Polynôme irréductible sur F_p

visitor · May 2020

Soit $n>0$ et $p$ premier.
On sait qu'il existe des polynômes de degré $n$ irréductible sur $\mathbb{F}_p$.
Peut-on donner une forme explicite de l'un d'entre eux sous la forme $X^n +\sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k$ ?

claude quitté · May 2020

$\def\F{\mathbb F}$ La réponse est non. Par exemple, pour $n = 2$, disposer d'un tel polynôme irréductible de degré 2 sur $\F_p$ pour $p \ne 2$ équivaut à disposer ``automatiquement'' d'un non carré dans $\F_p$. Ce que l'on ne sait pas réaliser sauf peut-être pour des $p$ particuliers. Bien sûr, il faudrait que je précise ``ce que l'on ne sait pas réaliser'' mais il est tard ; et de toutes manières, je serais bien en peine de le faire ...etc...

Quelque chose ayant un vague rapport avec ta quête (je dis bien un vague rapport) : les polynômes de Conway sur un corps fini, cf la section 3.4 à partir de la page 75 de http://www.cmls.polytechnique.fr/perso/orgogozo/ronbun/Galois_CNRS.pdf

visitor · May 2020

Merci Claude.

Connait-on des cas généraux si on impose des conditions entre $n$ et $p$, du genre, si $n<p$, etc...?

Poirot · May 2020

La réponse de Claude s'applique tout autant. Ça coince déjà pour $n=2$.

visitor · May 2020

Merci Poirot,

Il y a peut-être d'autres façons (plus constructives ?) de répondre à ma seconde question.
Voici deux exemples.
1. Si $a \in \mathbb F_p^{\times}$, le polynôme $X^p -X -a$ est irréductible dans $ \mathbb F_p[X]$.
2. Pour tout $n \in \mathbb N^*$ le polynôme $X^{2 \cdot 3^n}+X^{3^n}+1$ est irréductible dans $ \mathbb F_2[X]$.

Si vous en connaissez d'autres dans cette direction, cela m'intéresse.