Möbius, projectif, bouteille de Klein , etc.

Salut Christophe,

Tu as fait une petite erreur de calcul, le dernier terme dans ton développement est $b\otimes b$. Pour le reste, je ne peux malheureusement pas t'aider.

CC a écrit:

prenons un disque et identifions ses points diamétralement opposés 2 à 2. Là encore ça donne un truc non orientable (les gauchers deviennent droitiers en franchissant les téléportages). C'est difféomorphe à quoi?

Je peux au moins répondre à ça. C'est le plan projectif réel, ce qui n'est pas trop difficile à se représenter (les points du bord sont les points de la droite à l'infini).

Mauricio
Le produit extérieur de deux modules sur un anneau commutatif, je n'en ai jamais entendu parler. Quelles sont tes références ? La mienne est : A.III Algèbres tensorielles, extérieures et symétriques de Bourbaki (écrit par Dieudonné, je crois). Je n'en pense pas que du bien (de ce chapitre A.IIII) mais comme certaines personnes ont cogité là-dedans, on aurait tort ne pas consulter ce sur quoi elles ont planché (ainsi que les diverses tentatives de Chevalley pour revoir certaines parties, notamment celles qui touchent à ``l'algèbre intérieure'').

L'algèbre extérieure $\bigwedge M$ d'un $A$-module $M$ est construite comme le quotient de l'algèbre tensorielle par l'idéal bilatère engendré par les $x \otimes x$ pour $x \in M$. Elle devient une algèbre graduée alternée (au sens de Bourbaki, en anglais skew commutative algebra) ce qui se mérite.

Certes le A.III de Bourbaki est en quelque sorte une usine à gaz. Mais pas de jugements hâtifs. Il faut une fois dans sa vie s'être battu avec les ``formules de type shuffle'' et voir comment Bourbaki a contourné le truc en introduisant le co-produit :
$$
\bigwedge M \mapsto \bigwedge M \otimes^{\rm gr.} \bigwedge M
$$Cela fait monter la mer mais trivialise les calculs.

Christophe a écrit:

Tes deux premières photos, celles du haut Calli, elles sont là pour montrer AVANT RECOLLEMENT ce que seront les deux du bas, c'est ça?

Oui, c'est ça. On prend le disque posé à plat, on le découpe au niveau d'un rayon, on lui fait faire un tour de plus autour de l'axe vertical et on recolle ensemble les deux côtés du rayon coupé. Alors les points du bord du disque qu'on veut identifier se retrouvent les uns au dessus des autres et il suffit de déformer la surface pour les coller deux à deux. Sur l'illustration, les surfaces s'auto-intersectent parce que $\Bbb RP^2$ ne peut pas être plongé dans $\Bbb R^3$, mais il faut imager qu'elles passent au travers d'elles-mêmes.

@Claude: ma référence c'est juste "le livre d'or du gars qui commet des bourdes"B-)
Merci d'avoir rectifié. Ceci dit je ne connais pas de "bonne définition" de l'algèbre extérieure.
Les jolis figures de Calli sont des projections dans R^3, elles possèdent un singularité parapluie de Whitney.
M.

Christophe : savoir quoi ? J'avoue que j'ai pas suivi d'à quelle question tu te référais :-D

Par "intérieur", tu parles de quelque chose du type "théorème de Jordan" ? (Calli : si oui, pas sûr que tu aies raison sur tes prisons dans le plan projectif... tu penses juste à $\pi_1$ ou tu as quelque chose de plus dans ta manche ?)

Calli : ah oui bien sûr, je ne sais pas pourquoi j'ai dit ça.

En fait plus généralement, dès que tu as une surface connexe , tu vas pouvoir faire la même chose, indépendamment de l'orientabilité.

Christophe : Bon naturellement si tu t'autorises à déformer ton lacet, la prison que Calli décrit peut effectivement se déformer en un point, mais si tu t'autorises à déformer les prisons, bah $\mathbb R^2$ n'a pas non plus de prison.
Par contre $\mathbb R^2\setminus\{*\}$ aurait effectivement une prison, mais lui est orientable.
Donc pas grand chose à voir avec l'orientabilité.

Christophe a écrit:

Or sur le ruban de Möbius, sur la bouteille de Klein, c'est pas évident de calculer un volume orienté avec le quel tout le monde sera d'accord, non ?

Ben oui, vu que si tu regardes un petit carré sur le ruban de Möbius, par exemple, et que tu le remets à sa place en lui faisant faire un tour, comme il est à l'envers, son aire doit être égale à l'opposé de son aire.

Et sinon, l'algèbre extérieure de Claude, c'est l'espace vectoriel engendré par tous les produits tensoriels et où tu quotientes par le sous-espace engendré par les tenseurs purs avec une répétition ; c'est donc exactement ce que tu fais. Et les formes différentielles, c'est choisir des volumes orientés sur tous les plans tangents de manière régulière (et quand pas orientable équivaut, par définition, à ne pas pouvoir le faire de manière continue).

Pour moi, une prison c'était un lacet injectif (les murs de la prison) qui sépare l'espace ambiant en deux composantes connexes (l'intérieur de la prison et son extérieur). D'où l'intérêt de préciser les définitions quand la terminologie n'est pas standard...

Maxtimax a écrit:

une variété simplement connexe est orientable

C'est difficile à prouver ça ?

Christophe a écrit:

quelque chose de proche, où le PP n'est "devient simplement connexe" avec cette définition plus large?

:-S

Calli : ça dépend de ta définition d'orientabilité :-D

Avec la définition pour toute variété topologique, c'est relativement évident, puisqu'on a un "revêtement d'orientation", dont les sections sont précisément les orientations; donc si tu es simplement connexe, un revêtement admet forcément une section.

Avec la définition de géo diff, il faut (enfin j'ai l'impression) connaître la suite exacte longue d'homotopie d'une fibration : tu as un fibré vectoriel (en particulier une fibration) $\bigwedge^n TX\setminus \{0\} \to X$, de fibre $\mathbb R\setminus\{0\}$, et donc tu as $0\to \pi_1(\bigwedge^n TX\setminus \{0\})\to \pi_1(X)\to \pi_0(\mathbb R^*)\to \pi_0(\bigwedge^n TX\setminus \{0\}) \to *$

Maintenant si $X$ est simplement connexe, tout ça s'écroule, et en particulier $\bigwedge^n TX\setminus \{0\}$ a exactement deux composantes connexes. Selon les théorèmes que tu connais, on peut dire que ça suffit ou pas; mais en gros à partir de là c'est pas compliqué de voir que tu as une section de ta fibration, i.e. une orientation.

(il s'avère que les deux définitions d'orientation sont équivalentes lorsque ta variété est différentielle, mais évidemment toute variété n'est pas (ni même uniquement pour celles qui le sont) différentielle)

Attention, elle ne va pas de $\bigwedge^n T^*_xM$ dans $M$, mais de $\bigwedge^n T^*M$ : avec l'indice $x$ c'est la fibre au-dessus de $x$ (= l'image réciproque de $\{x\}$). Cette application envoie tout $\bigwedge^n T^*_xM$ sur $x$, justement

Je veux dire "une fonction continue qui à chaque point $x$ de $M$ associe une forme linéaire alternée non nulle sur $(T_xM)^n$, pas $TM$ !

Et justement, ce qui importe finalement, c'est une topologie sur $\bigwedge^n T_x^*M \setminus\{0\} \cong \mathbb R^*$, sauf que ce dernier est équivalent (homotopique) à $2$ (topologie discrète) : donc ce qu'on en retient c'est que si on veut $\pm 1$ (au lieu de "un scalaire strictement positif ou strictement négatif", ce qui ne change rien du point de vue de la question de l'orientabilité), bah on se fiche finalement de la topologie de $\mathbb R$, puisque c'est juste la paire $\{\pm 1\}$ qui nous intéresse et rien d'autre (et elle est discrète dans $\mathbb R$)
Donc oui, c'est bien la discrète qu'on met sur $Alt^n(\mathbb F_2^n)$, ainsi que sur $\mathbb Z$ : ça ne change rien.

C'est ce que je voulais dire par "ce qui importe c'est la topologie horizontale"


PS : pour comprendre "horizontal", "au-dessus", "fibre", "section" etc. il faut comprendre le dessin mental qu'on se fait de la chose. On a notre variété $M$ qui est "en bas", avec plein de points dedans. Un point je peux le voir comme une inclusion $\{x\}\to M$. Chaque point a un espace tangent dans la variété, pictorialement :

$\xymatrix{T_xM \ar[d] \\
\{x\} \ar[r] & M}$

Le fibré tangent (c'est juste un nom, "fibré" vient de "fibre") c'est un truc global qui regroupe tous ces espaces tangents , pictorialement :


$\xymatrix{T_xM \ar[d]\ar[r] & TM \\
\{x\} \ar[r] & M}$

Un point du fibré tangent, c'est un point $x$ de $M$, et un vecteur $v\in T_xM$, donc en fait à chaque point du fibré tangent on peut associer un point de $M$ : ça nous donne une flèche $TM\to M$ :


$\xymatrix{T_xM \ar[d]\ar[r] & TM \ar[d]\\
\{x\} \ar[r] & M}$

Ici, tout est continu et ce diagramme est "cartésien", ça veut dire que $T_xM$ est précisément l'image réciproque de $\{x\}$ par la flèche $TM\to M$ : $TM$ c'est un bon gros truc avec tous les espaces tangents les uns à côté des autres. Vu l'image, on dit qu'il est au-dessus de $M$, et dès qu'on "tire" quelque chose de $M$ vers $TM$, on parle de "au-dessus": $ T_xM$ est au-dessus de $x$

Ensuite il s'avère qu'on peut faire pareil et recoller les $\bigwedge^n T_x^*M$ en un gros truc qui s'appelle $\bigwedge T^*M$, muni d'une flèche $\bigwedge^n T^*M\to M$ dont la fibre au-dessus de $x$ (l'image réciproque) est simplement $\bigwedge^n T_x^*M$

Une section d'une application $p$, c'est une $s$ telle que $p\circ s = id$. Dans notre dessin, avec disons $TM\to M$, ça donne un truc que je n'arrive pas à dessiner, mais qui explique très bien le mot section :-D

Du coup une section de $TM\to M$ c'est une application continue qui à chaque point associe un vecteur tangent, i.e. un champ de vecteurs. Une section de $\bigwedge^n T^*M\to M$, c'est une application continue qui à chaque point associe une forme $n$-linéaire alternée sur son espace tangent, et si on met $\setminus\{0\}$ c'est une forme $n$-linéaire alternée non nulle.

Maintenant, à homotopie près, $\bigwedge^n T^*M\setminus\{0\}\to M$ c'est un truc dont chaque fibre a deux points, discrets ($\mathbb R_{>0}$ et $\mathbb R_{<0}$, qui sont contractiles, donc des points au niveau de l'homotopie) : donc la topologie "verticale" (celle de chaque fibre) n'a que peu d'intérêt, et c'est la topologie horizontale (celle de $M$) qui en a.

Tu peux penser à un fibré comme une sorte de produit $M\times $ la fibre, mais qui est twisté - c'est de là que vient mon idée de "horizontale" vs "verticale" , chaque fibre est vue verticalement si tu veux.
On peut faire une analogie plus précise : les fibrés $E\to M$ sont aux produits d'espaces ce que les extensions non triviales de groupes (i.e. les suites exactes $1\to H\to G\to Q\to 1$) sont aux produits de groupes (naïvement, $G$ est un "produit twisté" de $Q$ et $H$)

Dans l'ordre :

Pour l'espace tangent, justement : en chaque $x$, c'est une copie de $\R^n$, mais ce dernier a beaucoup d'automorphismes, et en particulier l'identification $T_xM\cong \R^n$ n'est pas canonique.
Pour te donner une idée, prenons un cas très simple : je prends une fonction très gentille $f :\R^m\to \R$ et $M := f^{-1}(\{0\})$. Dans les cas favorables (je ne détaillerai pas, c'est pas compliqué mais ça ne t'intéressera pas pour le moment), $M$ est naturellement une variété différentiable, et en $x$ l'espace tangent à $M$ s'identifie à $\ker (d_xf)$ ($d_xf$ est, elle, définie sur $\R^m$, qui est l'espace tangent à $x$ dans $\R^m$).
Ou encore, un point de vue plus simple à visualiser : l'espace tangent en $x$ est le sev de $\R^m$ consistant en les $v\in\R^m$ qui sont $\gamma'(0)$, pour au moins un $\gamma : ]-\epsilon, \epsilon[ \to M$ différentiable. Si tu imagines $S^2\subset \R^3$ par exemple, l'espace tangent en $x$ est celui qu'on imagine (à une translation par $x$ près : l'image mentale en fait un sous-espace affine de $\R^3$ puisqu'on rajoute $x$) : tu vois qu'il bouge avec le point, et en fait on ne peut pas faire autrement, c'est un théorème ($S^2$ n'est pas parallélisable)

(Calli : c'est pas juste que ce serait artificiel, c'est que ce n'est pas possible)

(juste pour répondre : tu fais bien de prendre $\mathbb F_3$ puisque pour $\mathbb F_2$ l'ensemble d'arrivée est un singleton :-D )
Non, elle ne sera pas localement constante, parce que justement, ce n'est pas à valeurs dans $\bigwedge^n \mathbb (F_3^n)^*$ qu'on arrive, mais dans $\bigwedge^n (V_x)^*$, avec $V_x\cong \mathbb F_3^n$ pour tout $x$. Mais cet isomorphisme n'est pas unique, canonique ou quoi que ce soit. En gros $V_x$ bouge avec $x$ et tu n'as pas une identification fixée avec $\mathbb F_3$.

Une orientation te donne justement une telle identification, et donc effectivement, si une orientation existe, le truc vers lequel tu vas est non connexe, et donc tu as des applications "localement constantes".

En fait, je pense que la confusion vient du point suivant :

Prenons un espace $X$ (on peut penser à une variété mais c'est pas nécessaire), et une application continue $p: Y\to X$. Je prends un point $x\in X$ et je pose $F := p^{-1}(\{x\})$; et je suppose que pour tout $s\in X$, il existe un homéomorphisme $p^{-1}(\{s\}) \cong F$. Attention, je ne fixe pas cet homéo dans mes données, et je ne demande pas qu'ils soient compatibles : je demande qu'il existe un homéo, "abstraitement".

Alors on peut penser à $Y$ comme "un produit twisté" de $X$ par $F$, et à $p$ comme "la projection sur $X$" de ce produit twisté. Du coup, les sections $X\to Y$ (quelqu'une tel que $p\circ$ elle $=id_X$) se pensent comme des "fonctions continues $X\to F$ généralisées". En effet, si $Y=X\times F$ et $p$ est la projection (le cas où le produit n'est pas twisté, le cas simple), alors une section c'est exactement la même chose qu'une application continue $X\to F$.

Ici, c'est pareil : tu as un "fibré" $p : TM\to M$ dont les fibres sont toutes homéomorphes à $\R^n$, mais $TM$ n'est pas $M\times \R^n$ (en général, même à homéomorphisme près). Pareil dans le cas où les fibres sont $\mathbb F_3$ : ton truc n'est pas $M\times \mathbb F_3$ (qui serait trois copies de $M$, topologiquement), même à homéomorphisme près.

Je prends un exemple : tu as une projection canonique $S^2\to \mathbb RP^2$, en chaque point, la fibre est un espace discret à deux points (en fait tu as beaucoup mieux, il y a même une condition de cohérence locale, mais je ne voulais pas rentrer dans les détails). Pourtant $S^2$ n'est pas du tout du tout (mais alors pas du tout) $\mathbb RP^2\times 2$. ça c'est ok ?

Et bah pour $\mathbb RP^2$, le $o(M)$ (donc $o(\mathbb RP^2)$) c'est exactement $S^2$ à homéomorphisme près. En particulier il n'y a pas de section : $\mathbb RP^2$ n'est pas orientable. Pourtant, une telle section reviendrait à assigner "en chaque point, un élément de $2$".

Le problème c'est que l'identification de la fibre avec $2$ n'est pas cohérente sur tout $\mathbb RP^2$ : si tu identifies la fibre à $2$ en un point, et suis un petit lacet en identifiant de manière cohérente localement à chaque fois la fibre à $S^2$, et que tu suis un lacet "méchant", à la fin ton identification sera renversée !!

Donc il y a de la disconnexité dans chaque fibre, mais le fibré, lui, n'est pas disconnexe. Enfin, si, parfois : quand $M$ est orientable :-D (c'est un théorème)

Quant à la question "comment prendre $\mathbb F_2$ alors que l'espace tangent est donné (et c'est $\mathbb R$) ?" - c'est que la notion de $\mathbb F_2$-orientabilité n'utilise pas l'espace tangent. C'est ce que j'ai essayé d'expliquer plus tôt : quand tu remplaces $\bigwedge^nT^*_xM$ par $H_n(M,M\setminus\{x\};\mathbb R)$, tu obtiens la même réponse à la question "le fibré a-t-il une section ?". Mais tu vois que le deuxième dépend de $\mathbb R$; donc tu peux ensuite remplacer ce $\mathbb R$ par $\mathbb Z$, puis en fait par $\mathbb F_2$ (ou n'importe quel $R$).

Bref, passer à $\mathbb F_2$ requiert de changer un peu la définition d'orientabilité, mais c'est équivalent, donc tout va bien. Et en fait, on pourrait penser que c'est débile, mais il y a des théorèmes de la forme "si machin est orientable alors blah" qui se généralisent facilement en "si machin est $R$-orientable, alors $R$-blah", et $R$-blah peut être très intéressante, même pour des $R$ comme $\mathbb F_2$.
Je pense en particulier à la dualité de Poincaré, qui est valable pour toute variété, si tant est qu'on se met en caractéristique $2$

Christophe: bah si tu veux être précis, oui, c'est comme ça qu'on définit la $K$-orientabilité. Mais je pense que tu peux comprendre "avec les mains" sans ça; juste ce ne sera pas précis.