Éléments d'un groupe quotient

fbi · May 2020

Bonjour,
je travaille les groupes quotients pour l'agreg interne.
Dans le Berhuy : Algèbre, le grand combat,
l'exercice E1 p 285 demande la liste des éléments du groupe quotient $\mathbb{Z}^2/H$, où $H = \{ (x;y)\in \mathbb{Z}^2 \mid x+y\in 2\mathbb{Z},\ x-y\in 3\mathbb{Z}\}$, puis la table de la loi de ce groupe quotient.

Un élément est une classe d'équivalence de la forme : $(x;y)+H$,
c'est-à-dire $\{ (x+x_1;y+y_1) \in \mathbb{Z}^2 \mid x_1+y_1\in 2\mathbb{Z},\ x_1-y_1\in 3\mathbb{Z}\}$,
mais je me doute que ce n'est pas l'écriture attendue.
Quelqu'un pourrait-il me donner une idée ?
Cordialement.

ev · May 2020

Bonjour fbi.

Tu as de saines lectures.

Peut-être peux-tu préciser qui est $H$. À quelle condition $(x,y) \in H$ ?

Bon Star Wars Day.

e.v.

Math Coss · May 2020

Fais un dessin de $H$.

fbi · May 2020

Bonjour e.v.
merci pour ta réponse.
$(x,y) \in H \Leftrightarrow x \equiv y\ [2]\ \text{et}\ x \equiv y\ [3]$
$(x,y) \in H \Leftrightarrow x \equiv y\ [6]$.

Cordialement.

Foys · May 2020

Essaie de construire une fonction "naturelle" de $\Z^2/H$ dans $\Z /2\Z \times \Z / 3\Z$. Cette fonction est-elle bijective?

fbi · May 2020

Bonjour Math Coss,
pour le dessin,
je vois H comme l'ensemble des points à coordonnées entières situés sur les droites d'équation $y=x+6k$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

Cordialement.

Math Coss · May 2020

Exact. Ne vois-tu pas un motif se dégager, genre pavage ?

Edit : j'explicite. 101190

fbi · May 2020

Des sortes de bandes ?

fbi · May 2020

Je vois les "parallélogrammes" qui forment une partition de $\mathbb{Z}^2$ : ce sont les éléments de $\mathbb{Z}^2/H$ ?

Thierry Poma · May 2020

Bonjour,\[\begin{array}{lllllllll}\mbox{H}&=&\left\{\begin{array}{c|c}(x,\,y)&(x,\,y)\in\Z^2\text{ et }x+y\in2\,\Z\text{ et }x-y\in3\,\Z\end{array}\right\}\\&=&\left\{\begin{array}{c|c}(x,\,y)&(x,\,y)\in\Z^2\text{ et }x-y\in2\,\Z\text{ et }x-y\in3\,\Z\end{array}\right\}&\text{car }x-y\equiv{x+y}\equiv0\quad[2]\\&=&\left\{\begin{array}{c|c}(x,\,y)&(x,\,y)\in\Z^2\text{ et }x-y\in2\,\Z\cap3\,\Z\end{array}\right\}\\&=&\left\{\begin{array}{c|c}(x,\,y)&(x,\,y)\in\Z^2\text{ et }x-y\in6\,\Z\end{array}\right\}&\text{car }2\,\Z\cap3\,\Z=6\,\Z\\&=&\left\{\begin{array}{c|c}(x,\,y)&(x,\,y)\in\Z^2\text{ et }(\exists\,k)\left(k\in\Z\text{ et }y=x+6\,k\right)\end{array}\right\}\\&=&\bigcup_{k\in\Z}\left\{\begin{array}{c|c}(x,\,x+6\,k)&x\in\Z\end{array}\right\}\end{array}\]Cordialement,

Thierry

fbi · May 2020

OK,
merci Thierry pour la formalisation de H.

Cordialement.

Math Coss · May 2020

Non, les parallélogrammes ne sont pas les éléments de $\Z^2/H$, « bien au contraire » en quelque sorte : les différents parallélogrammes sont images les uns des autres par une translation dont le vecteur appartient à $H$, ça veut dire que des points qui sont « dans la même position » par rapport à un parallélogramme diffèrent d'un élément de $H$, i.e. sont égaux dans le quotient.

Par exemple, le point $(1,0)$ et le point $(-1,4)$ diffèrent d'un élément de $H$ donc ils sont égaux dans le quotient (i.e. ont la même image par la projection canonique) (figure ci-dessous).

Le parallélogramme est le domaine fondamental du pavage, le « motif de base ». Cela veut dire que tout point du plan est dans l'image de ce parallélogramme par une unique translation par un vecteur appartenant à $H$ (il y a deux ou quatre translations si le point est sur le bord ou est un sommet d'un tel parallélogramme). C'est vrai en particulier des points à coordonnées entières.

Le parallélogramme permet de deviner un système de représentants de $\Z^2/H$ dans $\Z^2$ : ce sont les points entiers qu'il contient. Pourquoi au fait ? 101192

Math Coss · May 2020

PS : J'insiste avec les dessins pour marquer le fait que si le passage au quotient est une opération conceptuelle, elle décrit quelque chose de très concret, du moins tangible à la base.

fbi · May 2020

OK Math Coss,
je devine que $\mathbb{Z}^2/H$ est composé de 6 éléments : $\overline{(0,0)}$, $\overline{(0,1)}$, $\overline{(0,2)}$, $\overline{(0,3)}$, $\overline{(0,4)}$ et $\overline{(0,5)}$.
Pour la justification, on pourrait dire que n'importe quel point de $\mathbb{Z}^2$ appartient à un ensemble du type $(0,k)+H$ où $k \in [\![ 0 ; 5 ]\!]$.
Pour la table de la loi sur $\mathbb{Z}^2/H$ :
soit $k \in [\![ 0 ; 5 ]\!]$ et $k' \in [\![ 0 ; 5 ]\!]$,
$\overline{(0,k)} + \overline{(0,k')} = \overline{(0,c)}$ où $c \equiv k+k' \ [6]$.

Merci pour ces dessins et leurs interprétations que l'on ne trouve jamais dans les livres.
ordialement.

Math Coss · May 2020

C'est vrai mais le dessin suggère d'autres représentants.

On observe les points entiers dans le parallélogramme : $(0,0)$, $(1,0)$, $(2,0)$, $(3,0)$, $(4,0)$, $(5,0)$ (je n'ajoute pas $(6,0)$ parce qu'à translation par un élément de $H$ près, c'est $(0,0)$).

À présent, on prend un élément $(x,y)\in\Z^2$ et on montre qu'il est dans la classe $\gamma+H$ d'un unique $\gamma$ parmi les six précédents. On commence par revenir sur la droite : $(x,y)=(x-y,0)+y(1,1)$, où $(1,1)$ et donc $y(1,1)$ appartient à $H$. Puis on effectue la division euclidienne de $x-y$ par $6$ : $x-y=6q+r$ avec $0\le r<6$, ce qui donne $(x,y)=(r,0)+q(6,0)+r(1,1)$. Cela prouve que \[\Z^2/H=\bigl\{(r,0)+H,\ 0\le r<6\bigr\}.\] Enfin, on vérifie que $(r,0)-(r',0)\notin H$ pour $r,r'\in\{0,\dots,5\}$, ce qui permet de conclure.

fbi · May 2020

Oui, bien sûr, vous avez raison quant au choix des représentants.

Et la justification des éléments de $\mathbb{Z}^2/H$ est très claire : je me rends compte
que j'ai du mal à formaliser ces idées.
Votre rédaction est bien utile pour comprendre tout cela.

Merci d'avoir conclu la question.

Cordialement.

Éléments d'un groupe quotient

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