4)Pouvez-vous dégager une condition suffisante "simple" portant sur M,N appartenant à N^* pour que si f: Z/MZ --> Z/NZ est un morphisme d'anneaux unitaires, alors il est trivial ?
En effet, si on a l'existence d'un morphisme d'anneaux unitaires entre Z/MZ et Z/NZ alors le morphisme est non nul il est alors non trivial. Alors comment pouvons nous déterminer une condition pour que ce dernier soit trivial alors que dans tous les cas il ne l'est pas ? Ceci est contradictoire.
Analysons la situation : Soit $m$ et $n\in\N^*$, puis $\pi_m:\Z\to\Z/m\,\Z$ et $\pi_n:\Z\to\Z/n\,\Z$ les morphismes surjectifs canoniques d'anneaux. Il est clair que $\ker\,\pi_m=m\,\Z=(m)$ et $\ker\,\pi_n=n\,\Z=\left(n\right)$ (qui sont des idéaux principaux de $\Z$). Partant, il existe un unique morphisme d'anneaux $\overline{\varphi}:\Z/m\,\Z\to\Z/n\,\Z$ tel que l'on ait\[\begin{array}{ccc}\Z&\xrightarrow{\pi_n} &\Z/n\,\Z\\\\\pi_m\downarrow&\nearrow _\overline{\varphi}&\\\\\Z/m\,\Z\end{array} \qquad\qquad\text{, ce qui se traduit par }\pi_n=\overline{\varphi}\circ\pi_m\]à condition que $(m)=\ker\,\pi_m\subset\ker\,\pi_n=(n)$, i.e. de manière équivalente que $n|m$. Supposons donc que $n|m$, de manière à ce que $\overline{\varphi}$ existe et soit unique. Comme $\pi_n$ est surjectif, $\overline{\varphi}$ hérite naturellement de cette surjectivité, de sorte que $\overline{\varphi}\left(\Z/m\,\Z\right)=\Z/n\,\Z$. Or, l'on voudrait surtout que $\overline{\varphi}\left(\Z/m\,\Z\right)=\left\{\pi_n(0)\right\}=\left\{\overline{0}_n\right\}$, c'est-à-dire que $\overline{\varphi}$ soit trivial.
Synthétisons le tout : (...)
Là, je vais me coucher. Bonne nuit !
Thierry
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Bonjour
Merci pour vos explications qui sont très claires.
Pouvez-vous juste m'expliquer comment vous trouvez l'équivalence suivante :
(m) inclus dans (n) équivaut à n divise m ?
Il suffit d'écrire ce que signifie $(m) \subset (n)$ et $n$ divise $m$ pour répondre à ta question, a.maths.
Supposons que $n$ divise $m$.
Cela signifie que : $\exists k \in \mathbb{Z} \, : \, m=nk$.
Les éléments de $(n)$ sont de la forme $nk$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
Je te laisse conclure que tout élément de $(m)$ est inclus dans $(n)$.
C'est sensiblement la même chose pour traiter la réciproque (on doit pouvoir le traiter par équivalence directement, d'ailleurs).
Réponses
Je ne comprends pas la question suivante :
4)Pouvez-vous dégager une condition suffisante "simple" portant sur M,N appartenant à N^* pour que si f: Z/MZ --> Z/NZ est un morphisme d'anneaux unitaires, alors il est trivial ?
En effet, si on a l'existence d'un morphisme d'anneaux unitaires entre Z/MZ et Z/NZ alors le morphisme est non nul il est alors non trivial. Alors comment pouvons nous déterminer une condition pour que ce dernier soit trivial alors que dans tous les cas il ne l'est pas ? Ceci est contradictoire.
Merci de votre aide
Analysons la situation : Soit $m$ et $n\in\N^*$, puis $\pi_m:\Z\to\Z/m\,\Z$ et $\pi_n:\Z\to\Z/n\,\Z$ les morphismes surjectifs canoniques d'anneaux. Il est clair que $\ker\,\pi_m=m\,\Z=(m)$ et $\ker\,\pi_n=n\,\Z=\left(n\right)$ (qui sont des idéaux principaux de $\Z$). Partant, il existe un unique morphisme d'anneaux $\overline{\varphi}:\Z/m\,\Z\to\Z/n\,\Z$ tel que l'on ait\[\begin{array}{ccc}\Z&\xrightarrow{\pi_n} &\Z/n\,\Z\\\\\pi_m\downarrow&\nearrow _\overline{\varphi}&\\\\\Z/m\,\Z\end{array} \qquad\qquad\text{, ce qui se traduit par }\pi_n=\overline{\varphi}\circ\pi_m\]à condition que $(m)=\ker\,\pi_m\subset\ker\,\pi_n=(n)$, i.e. de manière équivalente que $n|m$. Supposons donc que $n|m$, de manière à ce que $\overline{\varphi}$ existe et soit unique. Comme $\pi_n$ est surjectif, $\overline{\varphi}$ hérite naturellement de cette surjectivité, de sorte que $\overline{\varphi}\left(\Z/m\,\Z\right)=\Z/n\,\Z$. Or, l'on voudrait surtout que $\overline{\varphi}\left(\Z/m\,\Z\right)=\left\{\pi_n(0)\right\}=\left\{\overline{0}_n\right\}$, c'est-à-dire que $\overline{\varphi}$ soit trivial.
Synthétisons le tout : (...)
Là, je vais me coucher. Bonne nuit !
Thierry
Merci pour vos explications qui sont très claires.
Pouvez-vous juste m'expliquer comment vous trouvez l'équivalence suivante :
(m) inclus dans (n) équivaut à n divise m ?
Supposons que $n$ divise $m$.
Cela signifie que : $\exists k \in \mathbb{Z} \, : \, m=nk$.
Les éléments de $(n)$ sont de la forme $nk$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
Je te laisse conclure que tout élément de $(m)$ est inclus dans $(n)$.
C'est sensiblement la même chose pour traiter la réciproque (on doit pouvoir le traiter par équivalence directement, d'ailleurs).