Morphismes d'anneaux
Bonjour,
Je bloque sur un exercice d'algèbre.
Le voici :
Soient p,p' deux nombres premiers.
1)Sous quelles conditions a-t-on un morphisme d'anneaux unitaires non-trivial Z/pZ --> Z/p'Z ?
2)Lorsqu'il existe, quelle est la nature de ce morphisme ?
3)Que peut-on dire généralement pour Z/MZ et Z/NZ ?
4)Pouvez-vous dégager une condition suffisante "simple" portant sur M,N appartenant à N^* pour que si f: Z/MZ --> Z/NZ est un morphisme d'anneaux unitaires, alors il est trivial ?
Je n'arrive pas du tout à faire ressortir de telles conditions pour que l'on ai un morphisme d'anneaux unitaires non trivial entre ces deux ensembles.
Je ne souhaite pas que l'on me dise la réponse telle quelle mais que l'on m'aide à l'obtenir par moi-même.
Merci
a.maths
Je bloque sur un exercice d'algèbre.
Le voici :
Soient p,p' deux nombres premiers.
1)Sous quelles conditions a-t-on un morphisme d'anneaux unitaires non-trivial Z/pZ --> Z/p'Z ?
2)Lorsqu'il existe, quelle est la nature de ce morphisme ?
3)Que peut-on dire généralement pour Z/MZ et Z/NZ ?
4)Pouvez-vous dégager une condition suffisante "simple" portant sur M,N appartenant à N^* pour que si f: Z/MZ --> Z/NZ est un morphisme d'anneaux unitaires, alors il est trivial ?
Je n'arrive pas du tout à faire ressortir de telles conditions pour que l'on ai un morphisme d'anneaux unitaires non trivial entre ces deux ensembles.
Je ne souhaite pas que l'on me dise la réponse telle quelle mais que l'on m'aide à l'obtenir par moi-même.
Merci
a.maths
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Réponses
Alors il faut que pgcd(p,p') diffère de 1 ?
Puisque $p$ et $p'$ sont des nombres premiers, le morphisme d'anneaux unitaires $\varphi:\Z/p\,\Z\to\Z/p'\,\Z$ est en fait un morphisme de corps, dont $\ker\,\varphi$ est un idéal de $\Z/p\,\Z$. Comme l'on veut que $\varphi$ soit non-trivial, l'on ne peut donc avoir $\ker\,\varphi=\Z/p\,\Z$, de sorte que $\ker\,\varphi=\{0_p\}$ nécessairement, ce qui exige que $\varphi$ soit injectif. (...)
Cordialement,
Thierry
Bonjour, je ne comprends pas comment nous savons que Ker Phi est un idéal de Z/pZ ? Cela vient d'une propriété ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Tu peux démontrer facilement ceci :
Soient $A$ et $A'$ deux anneaux abéliens et $f$ un morphisme d'anneaux de $A$ dans $A'$. Alors l'image réciproque de tout idéal de $A'$ est un idéal de $A$.
Sauf erreur, le fait que $\Z/p\Z$ et $\Z/p'\Z$ soient des corps n'intervient que dans la suite du raisonnement de Thierry.
Donc il nous faut que ce morphisme soit injectif.
Et alors l'image de ce morphisme sera égale à Z/p'Z ici
L'énoncé dit « morphisme d'anneaux unitaires ». Quelle est la définition de « morphisme d'anneaux » utilisée ici (il y a une condition qui peut être présente ou non, selon les auteurs) ?
Edit : en fait, je crois que la condition en question est « toujours » exigée. En tout cas, wikipédia n'a pas l'air d'envisager qu'elle puisse être omise. Dans ce cas, les choses me semblent assez simples pour les questions 1) et 2), mais je me demande dans quelle mesure on peut qualifier le morphisme de « non trivial ».
En fonction de la réponse à cette question, on peut être très explicite sur un tel morphisme, ou un peu moins, me semble-t-il.
Cela serait la réponse à la deuxième question "quelle est la nature de ce morphisme ?"
f : A --> B
f(1_A)=1_B
Pour tout a,b dans A,
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(axb)=f(a)xf(b)
Si f est bijective on parle alors d'isomorphisme
b) Regarde ce que donnent les autres relations vérifiées par $f$.
b) f est bijective, f(a+b)=f(a)*f(b) et f(axb)=f(a)xf(b)
Voila ce que l'on sait
a) $p$ divise $p'$ et les deux sont des nombres premiers, donc ... ?
b) On a l'image de 1. Comment s'exprime un élément quelconque $\bar{n}$ de $\Z/p\Z$ en fonction de l'unité $\bar{1}$ de ce corps (qui est donc un groupe pour une certaine loi) ? Que peut-on en déduire avec ces relations ?
b) On a que n * 1 = n
Et oui tu as dû remarquer que l'algèbre et surtout la théorie des groupes n'était pas mon fort :-S
a) Un nombre premier ne peut pas être égal à 1 !
b) Écris $\bar{n}$ en fonction de $\bar{1}$ dans le groupe $(\Z/p\Z, +)$. Après, regarde ce que l'on peut en déduire avec ce que l'on sait de $f$, morphisme d'anneaux.
Mais dans (Z/pZ,+), on considère que l'élément neutre est 0
Donc n=n+0
Dois-je utiliser ensuite la propriété f(a+b)=f(a)+f(b) ?
Je suis désolé mais j'ai vraiment du mal à comprendre le raisonnement depuis le départ ?
Si je résume :
1)On a que Ker(f) est un idéal de Z/pZ. Or f est non trivial donc on ne peut pas avoir Ker(f) =Z/pZ. Donc Ker(f)=0. Donc f doit être injectif
Si f existe alors p doit diviser p'. Or p et p' sont premiers donc p=p'. D'où Im(f)= Z/p'Z. Donc f doit être surjectif
Donc f doit être bijectif
2)Alors si ce morphisme existe, il doit être un isomorphisme
On sait également que f doit vérifier les trois propriétés écrites plus haut concernant le fait que ce soit un morphisme.
Mais je ne comprends pas ce que l'on cherche maintenant ?
Étant donné que $\zppz$ est un anneau non nul (comme tout corps), on en déduit qu'un morphisme d'anneaux qui arrive dans $\zppz$ est nécessairement non nul. Son noyau, idéal du corps $\zpz$, ne peut donc être que $\{0\}$ (n'oublie pas les accolades !). Soit $f$ un morphisme d'anneaux (de corps) de $\zpz$ dans $\zppz$. $f$ est donc nécessairement injectif. Son image est un sous groupe d'ordre $p$ de $\zppz$, donc $p$ divise $p'$ puis $p = p'$ car $p$ et $p'$ sont premiers. $f$ est ainsi une application injective entre deux ensembles de même cardinal fini, elle est donc bijective et $f$ est un isomorphisme de corps de $\zpz$ dans lui-même.
Ensuite, tu as quand même vu que la surjection canonique de $(\Z, +)$ dans $(\zpz, +)$ est un morphisme, non ? Ceci implique que $\bar{2} = \overline{1+1} = \bar{1} + \bar{1}$. Je te laisse généraliser à $\bar{n}$ pour tout $n$ dans $\N$.
Ensuite, prends un $f$ comme ci-dessus et regarde $f(\bar{n})$ (pour $n$ dans $\N$ ou dans $\{0,\dotsc, p-1\}$) à la lumière de ce que tu auras écrit.
Par non trivial je comprends aussi non nul.
Oui, alors on a que n= somme de 1 n fois
Alors f(n)=f(1)+f(1).... n fois
donc f(n)=n ?
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Oui mais cette hypothèse fait partie de l'énoncé donc est inévitable.
Donc f est un automorphisme ?
Je n'ai pas d'autres appellations dans mon cours :-S
Donc si on récapitule :
1)On a que Ker(f) est un idéal de Z/pZ. Or f est non trivial donc on ne peut pas avoir Ker(f) =Z/pZ. Donc Ker(f)=0. Donc f doit être injectif
Si f existe alors p doit diviser p'. Or p et p' sont premiers donc p=p'. D'où Im(f)= Z/p'Z. Donc f doit être surjectif
Donc f doit être bijectif
Donc les conditions sont 1) p divise p' 2) f est bijectif
2)Alors si ce morphisme existe, il doit être un isomorphisme
De plus f(n)=n pour tout n donc cet isomorphisme est un automorphisme qui n'est autre que l'application identité.
Revisitons la démonstration à la baisse, ne serait-ce que pour l'auteur de ce fil dont on ne connaît pas le niveau d'étude. Je pense avoir surestimé certaines choses. Le morphisme d'anneaux unitaires $\varphi:\Z/p\,\Z\to\Z/p'\,\Z$ est a fortiori un morphisme de groupes additifs [pour l'espèce de structure de groupe sous-jacente à chaque ensemble de base], dont $\ker\,\varphi$ est sous-groupe de $\Z/p\,\Z$. Son ordre divise donc $p$ qui est un nombre premier, donc cet ordre appartient à $\{1,\,p\}$. Comme l'énoncé veut que le morphisme $\varphi$ soit non-trivial, l'on ne peut donc avoir $\ker\,\varphi=\Z/p\,\Z$ (qui serait la seule possibilité dans le cas contraire), de sorte que $\ker\,\varphi=\{0_p\}$ nécessairement, ce qui impose que $\varphi$ soit injectif.
Cela dit, remarquons également que $\mbox{im}\,\varphi$, naturellement (ou canoniquement) isomorphe au groupe additif $\Z/p\,\Z$, est également un sous-groupe additif du groupe additif $\Z/p'\,\Z$, de sorte que $p|p'$, avec $p$ et $p'$ entiers premiers, ce qui impose que $p=p'$.
Voici un énoncé glané sur le net où je vous invite à lire le (b) (où nous avons affaire au corps $\C$, et pourtant !) :
Merci pour ces explications concises.
Mais vous ne parlez pas du fait que Phi doit être surjectif ?
Pour la question 2) êtes vous d'accord avec ce que j'ai récapitulé quelques messages plus haut ?
Voici une autre façon de voir les choses, plus simple (à condition d'avoir vu le théorème de factorisation pour les anneaux).Soit $\pi_p:\Z\to\Z/p\,\Z$ et $\pi_{p'}:\Z\to\Z/p'\,\Z$ les morphismes surjectifs canoniques d'anneaux. Il est clair que $\ker\,\pi_p=p\,\Z=(p)$ et $\ker\,\pi_{p'}=p'\,\Z=\left(p'\right)$ (qui sont des idéaux principaux de $\Z$). Partant, il existe alors un unique morphisme d'anneaux $\overline{\varphi}:\Z/p\,\Z\to\Z/p'\,\Z$ tel que l'on ait\[\begin{array}{ccc}\Z&\xrightarrow{\pi_{p'}} &\Z/p'\,\Z\\\\\pi_p\downarrow&\nearrow _\overline{\varphi}&\\\\\Z/p\,\Z\end{array} \qquad\qquad\text{, ce qui se traduit par }\pi_{p'}=\overline{\varphi}\circ\pi_p\]à condition que $\ker\,\pi_p\subset\ker\,\pi_{p'}$, i.e. de manière équivalente que $p'|p$ avec $p$ et $p'$ des entiers premiers, ce qui impose que $p=p'$. D'autre part, sous cette condition, l'existence de $\overline{\varphi}$ étant assurée, il s'ensuit que $\overline{\varphi}$ est surjectif, par héritage de la surjectivité de $\pi_{p'}$.
Cordialement,
Thierry
Après avoir relu tout ça à tête reposée, je ne comprends juste pas une petite chose qui est sans doute très simple.
Le fait que Im(Phi) soit isomorphe à Z/pZ ?
Je comprends alors que cela nous apporte que Im(Phi) est de même rang que Z/pZ, soit p. Et donc avec le fait que Im(Phi) soit incluse dans Z/p'Z, que ceci implique que p divise p' et ainsi que p=p'.
Mais comment prouver que Im(Phi) est isomorphe à Z/pZ ?
Merci de votre aide.
Tu as vu que $\varphi$ est injectif. Si tu le considère de $\frac{\mathbb Z}{p\mathbb Z}$ dans $\varphi\left(\frac{\mathbb Z}{p\mathbb Z}\right)$, il est automatiquement surjectif, et en plus, il respecte les opérations ....
Cordialement.