Extension séparable

Je me demande si ce n’est pas plutôt l’inverse qu’il fallait prouver : si pour tout $x$ dans $L$, $[K(x):K]\leq n$, alors $[L:K]\leq n$. Peut être une coquille dans le livre?

Je serais parti dans la même direction, mais j'aurais choisi par exemple $K = \mathbb{F}_2(X^2)$ et $L = \mathbb{F}_2(X)$, là il doit y avoir quelque chose à faire.

Edit : ne cherche pas trop avec mon exemple, ce n'est que mon intuition, je n'ai pas résolu l'exercice ;-)

Oui. Le polynôme $f=T^p-X^p\in K[T]=\mathbf{F}_p(X^p)[T]$ est irréductible et donc c'est le polynôme minimal de $X$ sur $K$.

Soient $g,h\in K[T]$ des polynômes unitaires tels que $f=gh$. Dans l'anneau $L[T]=\mathbf{F}_p(X)[T]$, on a l'égalité $T^p-X^p=(T-X)^p$ dont on déduit $g=(T-X)^n$ et $h=(T-X)^m$ pour des entiers $n,m$ tels que $0\le n,m\le p$ et $n+m=p$. Si l'un des entiers $n,m$ est égal à $0$, c'est OK. Supposons que $n<p$ et montrons que $n=0$. Pour tout entier $k$ tel que $0<k<p$, $X^k\notin\mathbf{F}_p(X^p)$. Or $g$ est à coefficients dans $\mathbf{F}_p(X^p)$ et la formule du binôme appliquée à $(T-X)^n$ fait apparaître des coefficients en $X^k$ avec $0<k<n$ quand $n>0$, donc $n=0$.

$\def\F{\mathbb F}$b.b. (et Malavita)
Vu. Et bien sûr, pour tout élément $z \in \F_p(X,Y)$, on a $z^p \in \F_p(X^p, Y^p)$.

En ce qui concerne l'extension $K(X)/K(F)$ dans mon post que tu as pointé, je crois que l'on peut commencer par l'inclusion d'anneaux $K[F] \subset K[X]$. Si le coeur t'en dit.

I. Soit $A \subset B$ deux anneaux intègres de corps des fractions $K, L$. Si $B$ est libre sur $A$ de base $(e_1 \cdots, e_n)$, alors $(e_1, \cdots, e_n)$ est aussi une base de $L/K$.

II. Expliciter une base de $K[X]$ sur $K[F]$ en commençant petit. Par exemple $F = X^2$, puis $F = X^n$. Et prendre des ailes.

III. Conclure.

$\def\Zi{\Z[i\rbrack}$Bonjour b.b.
Les cas particuliers $F = X^2$ puis $X^n$, c'était juste pour ne pas se bloquer avec le cas général. C'est une stratégie possible : quand on ne sait pas faire le cas général, pourquoi ne pas traiter des cas particuliers ? Parfois, cela peut débloquer, d'autres fois non.

Je me suis aperçu que mes indications n'étaient pas très pédagogiques. Je reviens dessus.

$\bullet$ Retour sur le I.
Il y une difficulté pour passer de $B/A$ aux corps des fractions $L/K$. Peut-être commencer, même si cela paraît ridicule de simplicité, par $A = \Z$ et $B = \Zi$ : comment passe-t-on de $(1,i)$ base de $\Zi$ sur $\Z$ à $(1,i)$ base de $\Q(i)$ sur $\Q$, étant entendu que l'on prend comme définition de $\Q(i)$ le corps des fractions de $\Zi$ ? Il y a quelque chose de fondamental qui consiste à multiplier par la quantité conjuguée au dénominateur :
$$
\text {habitant de} \ \Q(i) =_{\rm def} {\text{élément de } \Zi \over \text{élément non nul de }\Zi} \quad \buildrel {?} \over = \quad
{\text{élément de } \Zi \over \text{élément non nul de }\Z}
$$C'est pareil pour $L$ : il faut pouvoir écrire un élément de $L$ comme quotient d'un élément de $B$ par un élément non nul de $A$ :
$$
{b_1 \over b_2} = {b_1b'_2 \over b_2b'_2} =
{\text{élément de } B \over \text{élément non nul de }A}
$$Ci-dessus $b_1 \in B$, $b_2 \in B \setminus \{0\}$ : il faut montrer l'existence d'un $b'_2 \in B$ non nul tel que $b_2b'_2 \in A$. Oublions $b_1, b_2$ et prenons $b \in B$. En utilisant le polynôme caractéristique de $b$ sur $A$ (i.e. de la multiplication de $b$) et Cayley-Hamilton :
$$
b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = 0, \qquad a_i \in A
$$Avec cela, on finit par trouver $b' \in B$, non nul si $b$ est non nul, tel que $bb' \in A$. Do you see what I mean ?

$\bullet$ Retour sur le II.
Il faut deviner que $(1, X, \cdots, X^{n-1})$ est une base de $K[X]$ sur $K[F]$. Pour le montrer, on prend $P \in K[X]$ à écrire comme une combinaison linéaire de $(1, X, \cdots, X^{n-1})$ à coefficients dans $K[F]$. L'idée est d'écrire $P$ ``en base $F$'' i.e.
$$
P = R_0 + R_1.F + R_2.F^2 + \cdots \qquad R_i \in K[X], \quad \deg (R_i) < n
$$Vois tu comment ? Et de cette écriture, en déduire que
$$
P \in K[F].1 + K[F].X + \cdots + K[F].X^{n-1}
$$

Rebonjour b.b.
Ok. SAUF un petit truc. Contexte MINIMALISTE : $A \subset B$ deux anneaux commutatifs, $B$ libre sur $A$ de rang $n$. Pour $b \in B$, je note $m_b : B \to B$ la multiplication par $b$ que l'on voit comme une application $A$-linéaire. On peut donc parler de $\det(m_b)$, qui appartient à $A$, ce que l'on a fait.

1. Si $b \ne 0$, tu dis que $\det(m_b) \ne 0$. Comment le justifier ? Note : on b'est pas dans un contexte minimaliste puisque l'on suppose $B$ intègre (a fortiori $A$ intègre).

2. Dans un contexte minimaliste, le résultat est : si $b$ est régulier dans $B$, alors $a = \det(m_b)$ est régulier dans $A$. Mais ce n'est pas du tout une évidence. En fait si $E$ est un $A$-module libre de rang $n$ et $u : E \to E$ un endomorphisme injectif, alors $\det(u)$ est régulier. Mais encore une fois, ce n'est pas une évidence et il n'est pas question de se lancer là-dedans.

3. Pour éviter le souci de 1, j'avais tendance à dire. Si $a_0 = 0$ (ce qui ne peut pas arriver), je simplifie par $b$ (je peux car $B$ est intègre et $b \ne 0$), et je recommence le même type de cinéma en remplaçant $a_0$ par $a_1$.

Je suis un pinailleur, hein ?

b.b.
On peut quand même le justifier en utilisant le fait que $A$ est intègre et en donnant l'énoncé qui suit. Soit $L$ un $A$-module libre de rang $n$ et $u : L \to L$ un endomorphisme INJECTIF. Ou encore soit $U$ une matrice $n \times n$ à coefficients dans $A$, que l'on suppose injective.

Alors $\det(U) \ne 0$.

Justification : puisque $A$ est intègre, on peut considérer son corps des fractions $K \supset A$ et voir $U$ comme une matrice à coefficients dans $K$. Qui reste injective quand on la voit $U : K^n \to K^n$ (mini-vérification à réaliser). Et donc $U$ est une bijection de $K^n$ sur lui-même. Et en conséquence $\det(U) \ne 0$.