Matrice symétrique et orthogonale
Bonjour à tous
Voilà une question sur laquelle je sèche.
Soit A un matrice carrée nxn réelle telle que pour toute matrice P orthogonale tr(PA) =< tr(A)
Il faut montrer que A est symétrique, de spectre positif.
On me conseille d'étudier le cas n=2.
J'ai essayé mais rien n'abouti. Je vous remercie d'avance pour votre aide.
bestM
Voilà une question sur laquelle je sèche.
Soit A un matrice carrée nxn réelle telle que pour toute matrice P orthogonale tr(PA) =< tr(A)
Il faut montrer que A est symétrique, de spectre positif.
On me conseille d'étudier le cas n=2.
J'ai essayé mais rien n'abouti. Je vous remercie d'avance pour votre aide.
bestM
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Réponses
Il y a plein de matrices orthogonales simples.
Les matrices de permutations, les matrices de rotations, etc...
Reviens en montrant ce que tu as fait.
Si $A$ n'est pas inversible, c'est un peu plus entortille, mais la decomposition polaire n'est pas unique et il faut choisir le bon $U.$
Pour une matrice $A$ non inversible, on considère $A'=A+t\mathrm{I}_n$ pour $t$ strictement positif hors du spectre de $A$. L'hypothèse $\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}\tr(PA)\le\tr(A)$ entraîne que $\tr(PA')=\tr(PA)+t\tr(P)\le\tr(A)+t\tr(\mathrm{I}_n)\le\tr(A')$ [en effet, comme $P$ est unitaire, ses valeurs propres complexes sont de module $1$ donc le module de leur somme est inférieur ou égale à $n$].
D'après le cas inversible, $A+t\mathrm{I}_n$ est symétrique et son spectre est inclus dans $\R^+$. Par conséquent, $A$ est symétrique et comme on peut prendre $t$ aussi petit que l'on veut, le spectre de $A$ est inclus dans $\R^+$ [s'il y avait une valeur propre $<0$, on obtiendrait une contradiction en choisissant $t$ plus petit que sa valeur absolue].
J'arrive à montrer que les éléments diagonaux de A sont strictement positif.
Puis je coince.
De plus, la généralisation semble obscure.
\[A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad P_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix},\]
on obtient que l'application $\theta\mapsto \textrm{Tr}(AP_{\theta})$ définie sur $\R$ admet un maximum en $\theta=0$, donc sa dérivée est nulle en $0$, ce qui donne que la matrice $A$ est symétrique.
Pour généraliser, il me semble que c'est la même chose (mais je ne l'ai pas écrit) : si on note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de $\R^n$, il suffit d’effectuer la rotation ci-dessus dans le plan $\textrm{Vect}(e_i,e_j)$ avec $1\leq i<j\leq n$.
bestM