Notations $\mathcal{GL}$ et $GL$

FB · April 2020

Bonjour

Y a-t-il une différence entre $\mathcal{GL}$ et $GL$ ?

J'ai trouvé dans un livre les deux notations dans la même phrase, je cite :

Nous identifierons $\mathcal{GL}(\mathbb{R}^3)$ à $GL_3(\mathbb{R})$

Est-ce que la première notation est réservée aux espaces vectoriels et la seconde à la représentation matricielle ?
Merci,
FB

PS : j'ai une série de questions "idiotes", mais quand on est tout seul à travailler, ce n'est pas toujours simple de trouver les réponses.

marsup · April 2020

Oui, je pense que c'est ça : la première est le groupe des automorphismes de $\R^3$, et la deuxième est le groupe des matrices $3\times 3$ inversibles.

FB · April 2020

Ok, merci pour ce cas.

Est-ce que c'est vrai dans le cas général : la première notation est réservée aux autormorphismes d'un espace vectoriel, quand la seconde correspond au groupe des matrices inversibles ?
Ou bien est-ce que ce livre qui fait cette distinction et globalement on emploie l'une ou l'autre notation sans faire de différence ?

Maxtimax · April 2020

En général on écrit $GL(\mathbb R^3)$ (plus généralement $GL(V)$) aussi bien que $GL_3(\mathbb R)$ : la notation est peu ambiguë a priori puisque $GL($ quelque chose $)$ est forcément le groupe d'automorphismes linéaire du quelque chose (qui est un espace vectoriel), et $GL_n($ quelque chose $)$ est forcément le groupe des matrices $n\times n$ inversibles à coefficients dans quelque chose (qui est un corps)

Notations $\mathcal{GL}$ et $GL$

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