Produit de polynômes qui est à coefs entiers
Soit P et Q deux polynômes à coef réels positifs, tels que PQ est à coef entiers.
Est-ce que les coefs de P et de Q sont dans l'extension du corps des rationnels engendrée par les racines carrées ?
(Même question si P et Q sont à coefs quelconques mais le cas qui m’intéresse est celui des coefs positifs).
Merci.
Est-ce que les coefs de P et de Q sont dans l'extension du corps des rationnels engendrée par les racines carrées ?
(Même question si P et Q sont à coefs quelconques mais le cas qui m’intéresse est celui des coefs positifs).
Merci.
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Réponses
J'ai dit une bêtise.
> @soland : je demande des polynôme unitaires à coef constant égaux à 1.
Peux-tu reformuler précisément ta question, avec toutes les hypothèses ?
P et Q sont unitaires et leur coefs sont des entiers algébriques sur le corps des rationnels, ces coefs sont compris entre 0 et 1, P(0) = Q(0) = 1 et PQ est à coefs entiers.
As-t-on que P et Q ont des coefs dans l'extension des rationnels engendrée par les racines carrées?
Je vais essayer de faire des tests pour voir si on peut avoir aussi coef entre zéro et un...
Comment effectues-tu ces tests ? Ça me parait un peu diffucile de se débrouiller avec Python basique, mais c'est peut être parce que je manque d'imagination...
Merci encore, porte-toi bien!
mais ici dans ton exemple Champ-pot-Lion, la constante n'est pas égale à 1.
Je pense qu'il s'agit de regarder la notion de "contenu d'un polynôme" Wikipedia .
Ton énoncé : soient $P,Q\in\R[X]$ des polynômes unitaires dont les coefficients appartiennent à $[0,1]$ et tels que $P(0)=Q(0)=1$. On suppose de plus que le produit des polynômes $PQ$ est dans $\Z[X]$.
La question est de savoir si les coefficients de $P$ et $Q$ appartiennent à l'extension $\Q(\sqrt 2,\sqrt 3, \sqrt 5,\sqrt 7,\dots)$ de $\Q$ engendrée par les racines carrées de nombres premiers.
Tu confirmes ?
Pour python, j'ai utilisé sage.
On ne peut pas tester naïvement comme je l'ai fait quand on a les deux contraintes (unitaire et de coefficient constant 1) car le système à résoudre n'a en général pas de solution.
Soit $P=(X-\omega^3)(X-\omega^{13})=X-2\sin(\frac{\pi}{8})X+1=X^2-(\sqrt{2-\sqrt{2}})X+1$.
Alors $P$ est unitaire et $P(0)=1$,
Et $R$ est divisible par $P$ : le quotient est $Q$, qui est aussi unitaire et tel que $Q(0)=1$
De plus, les coefficients de $P$ n'appartiennent pas au corps $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}, \dots)$.
$PQ=X^8+1$ qui est à coefficients entiers.
Ça répond donc à la deuxième question du premier message (où on cherche seulement $P$ et $Q$ à coefficients non nécessairement positifs).
Je viens de réaliser qqchose qui fera peut-être avancer : Si on note $K$ l 'extension de $\mathbb Q$ engendrées par les racines carrées, je pense qu'on a $K[coefs(P)]=K[coefs(Q)]$ (où $coefs(P)$ et $coef(Q)$ sont resp. les ensembles des coefs de $P$ et $Q$)
Je détaille un peu : pour tt polynôme $R$, et tout entier $k\leq deg(R)$ notons $coefs(R)^k$ (resp. $coef(R)_k$ l'ensemble des coefs associés aux monômes d'exposants plus grands ou égaux à $deg(R)-k$ (resp. plus petits que $k$)
On a alors pour tout $k$ bien défini, $K[coefs(P)^k]=K[coefs(Q)_k]$
En effet si $k'$ est le plus petit tel que ça ne marche pas l'examen du monôme de $PQ$ d'exposant $k'$ fournit une contradiction (on utilise que les coefs constants sont 1 et que les polynômes sont unitaires)
De facon générale le problème de la factorisation pour la convolution de la mesure de Haar restreinte à un ensemble de mesure positive bornée dans un groupe commutatif est difficile. Même Paul Levy s'y était cassé les dents pour la probabilité uniforme sur $[0,1].$