Caractériser $\mathbb{C}$ sans $\mathbb{R}$
Bonjour,
Existe-il une caractérisation de $\mathbb{C}$ qui ne fait pas intervenir $\mathbb{R}$ ? Quelque chose du style "l'unique / le plus petit corps de caractéristique nulle, algébriquement clos, complet..." (en ne considérant, si on doit parler de topologie, que les topologies compatibles avec la structure de corps : $+$, $\times$ et la prise de l'opposé sont continues).
Merci d'avance
Existe-il une caractérisation de $\mathbb{C}$ qui ne fait pas intervenir $\mathbb{R}$ ? Quelque chose du style "l'unique / le plus petit corps de caractéristique nulle, algébriquement clos, complet..." (en ne considérant, si on doit parler de topologie, que les topologies compatibles avec la structure de corps : $+$, $\times$ et la prise de l'opposé sont continues).
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Réponses
Plus généralement, il existe pour tout cardinal infini et toute caractéristique (i.e. un nombre premier ou $0$) un et un seul corps algébriquement clos (à isomorphisme près) ayant ce cardinal et cette caractéristique.
Edit : ajout de la condition « algébriquement clos », évidemment indispensable.
Si on se fiche de la topologie, il suffit de dire que $\mathbb C$ est "le" corps algébriquement clos de caractéristique $0$ qui a la puissance du continu (avec AC).
Il doit être algébriquement clos cet unique corps, non ? Je ne pensais pas que le cardinal serait une contrainte suffisante. ::o
@GaBuZoMeu, qui est $\mathbb{C}_p$ ? Je voudrais bien chercher moi-même sur internet, mais je ne connais pas son nom.
Je viens de me rendre compte que c'était un peu bête de parler de complétude si je ne veux pas utiliser de distance à valeur dans $\mathbb{R}$.
Si $F$ est un corps algébriquement clos de caractéristique $0$ avec une topologie (où l'addition, la multiplication et l'inverse sont continus) séparée, non discrète et localement compacte,
alors la mesure de Haar de $F,+$ donne une valeur absolue $|.|$ qui induit la topologie, localement compact donne que $F$ est complet pour $|.|$; sa restriction à $\Q$ est soit $|.|_\infty$ soit $|.|_p$ soit la valeur absolue triviale,
ça ne peut pas être la valeur absolue triviale car sinon avec $x\in F^*,|x| \ne 1$ alors $x$ serait transcendant sur $\Q$ et $|.|$ serait une valuation non-archimédienne sur $\Q(x)$ et $F$ contiendrait la complétion de $\overline{\Q(x)}$ qui n'est pas localement compact.
le cas $|.|_p$ donne que $\C_p$ est un sous-corps topologique complet de $F$ qui n'est pas localement compact,
donc c'est $|.|_\infty$,
$\C$ est un sous-corps topologique de $F$. Pourquoi a-t-on $\C=F$ ?
Soit $\alpha \in F$. Puisque $F$ est un $\mathbb{C}$-evn localement compact, il est de dimension finie. C'est a fortiori le cas de $\mathbb{C}[\alpha]$, donc $\alpha$ est algébrique sur $\mathbb{C}$ et $\alpha \in \mathbb{C}$.
C'est pas plutôt $x\mapsto -x$ qui est continue ? Car $x\mapsto \frac1x$ ne l'est pas sur $\mathbb{C}$.
La valeur absolue triviale sur $\Q$ c'est $|a|=1$ is $a \ne 0$, c'est celle qui s'étend sur $\Q(x)$ en $|x^k f(x)/g(x)|= 2^{-k}$ si $f,g\in \Q[x],f(0),g(0)\ne 0$.
Oui $|.|_\infty$ c'est la valeur absolue usuelle de $\Q,\R,\C$.
Ton idée marche, un $\C$ espace vectoriel normé est localement compact ssi il est de dimension finie.
Ah oui c'est vrai, il y a pas de problème en fait. Et on impose pas que $x\mapsto -x $ est continue ? Est-ce qu'on l'a automatiquement avec les autres hypothèses de continuité ?
Merci pour les précisions. Pour exclure la valeur absolue triviale, on ne peut pas juste utiliser l'hypothèse que $F$ est non discret ?
Edit : j'ai écrit une bêtise
Donc pour terminer la preuve, ce que tu dois montrer c'est qu'il y a une seule valeur absolue archimédienne sur $\Q$, donc une valeur absolue sur $\Q$ non-triviale différente de $|.|_\infty$ est forcément non-archimédienne,
donc $O=\{ a\in \Q,|a|\le 1\}$ est un sous-anneau avec un unique idéal maximal $m=\{ a\in O,|a|<1\}$, avec $S =\{ q $ premier $\not \in m\}$ tu obtiens que
$O=S^{-1}\Z$ dont les idéaux maximaux sont les $(p),p\not \in S$. Qu'il y en a un seul dit que $O=(\Z-(p))^{-1}\Z,m=(p)$, d'où $|p^k a/b|= |p|^k$ pour $p\nmid ab$ ie. $|.|=|.|_p$.
La complétion de $\Q$ pour $|.|_p$ c'est $\Q_p$, tu dois montrer que $|.|_p$ s'étend uniquement à $K=\bigcup_{p\ \nmid\ n} \Q_p(\zeta_n)$ via $|a|_p = |N_{\Q_p(a)/\Q_p}(a)|_p^{1/[\Q_p(a):\Q_p]}$, et la complétion de $K$ n'est pas localement compacte.
André Weil démontre (dans Basic Numer Theory, I.3, théorème 5) qu'un corps topologique localement compact, non discret, pas forcément commutatif, de caractéristique $0$, est une algèbre à division de dimension finie sur un ${\mathbb Q}_p$, pour un $p$ premier ou $p=\infty$, avec la convention ${\mathbb Q}_{\infty}={\mathbb R}$.
Ce sont de vieux souvenirs : une partie de mon mémoire de maîtrise sous la direction de F. Sauvageot ...
En particulier à isomorphismes près, les seuls corps (commutatifs) topologiques localement compacts, non discrets et archimédiens, sont $\mathbb R$ et $\mathbb C$.
Je recommande vivement le bouquin de Weil pour une approche analytique des corps locaux localement compacts (à l'opposé de l'approche de Serre dans Corps Locaux, plus algébrique).
Edit : j'avais oublié la condition de locale compacité. Rerci Reuns !
Ce qu'on montre, sur conseil de Gabuzomeu, c'est que $\C$ est le seul corps topologique algébriquement clos localement compact (pour une topologie séparée et non-discrète).
Paul Broussous : tu as oublié de dire localement compact
Je ne sais pas trop si que la topologie est séparée est une conséquence des axiomes de corps topologique. En tout cas quand on demande que ça soit localement compact alors $F,+$ a une unique mesure de Haar et il suffit que $\mu_a(X)=\mu(aX)$ soit aussi une mesure de Haar pour obtenir que le $N(a)$ tel que $\mu_a = N(a)\mu$ soit une valeur absolue.
Merci pour la référence, @Paul Broussous. Je ne pense pas être prêt pour la lire actuellement, mais peut-être dans le futur.
@Homo Topi : la caractérisation de reuns et GaBoZuMeu parle de locale compacité et n'utilise les valeurs absolues que dans sa preuve, donc ça me va.
Avec cette définition, pas de distance, uniquement une topologie donc pas besoin de $\mathbb{R}$ ...
Bien sûr, les définitions coïncident avec celles allant avec les espaces métriques lorsqu'on arrive à munir le groupe d'une métrique définissant la même topologie.
P.S : Le "Remarque en passant" n'était pas pour toi Homo Topi, juste une coïncidence de vocabulaire ... ;-)
Pour tous ceux qui ont proposé une manière de contourner la valeur absolue, évidemment, je ne critique pas ;-).
Si le groupe est $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, les topologies usuelles en font bien un groupe topologique et il est métrisable.
De plus, pour $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$, la topologie peut encore être définie autrement, à savoir comme la topologie de l'ordre.
On pose $X = \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$.
$X$ est muni de la topologie produit de la topologie de l'ordre pour $\mathbb{Q}$.
$X$ est alors un groupe topologique séparé pour +. Soit alors $\tilde{X}$ l'ensemble des suites de Cauchy de $X$.
On définit une relation d'équivalence $\sim$ sur $\tilde{X}$ en posant pour $x=(x_n)_n$ et $y=(y_n)_n$ suites de Cauchy de $X$ :
$(x \sim y) \iff lim_{n \to \infty } x_n -y_n =0$.
On peut alors définir des opérations + et $\times$ sur $\tilde{X}$ et une distance au sens usuel métrisant sa topologie.
Je pense (à vérifier...) qu'on doit pouvoir montrer que $\tilde{X}$ ainsi défini forme un corps isomorphe à $\mathbb{C}$.
Vais-je dans une direction intéressante ?
Pour $x=(x_{1,n},x_{2,n})_n, y=(y_{1,n},y_{2,n})_n \in \tilde{X}$ et $\widehat{x}, \widehat{y}$ leurs classes respectives dans $\tilde{X} / \sim$, on pose $\widehat{x} + \widehat{y} = \widehat{x +y}$ et $\widehat{x} \times \widehat{y} = \widehat{x * y}$ où $x * y = (x_{1,n} y_{1,n}-x_{2,n} y_{2,n}, x_{2,n} y_{1,n}+x_{1,n} y_{2,n})_n$.
Enfin, on pose $d(\widehat{x},\widehat{y}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt{(x_{1,n} - y_{1,n})^2 + (x_{2,n} - y_{2,n})^2}$.
(J'ai posé cette distance pour retrouver la distance euclidienne mais c'est loin d'être la plus naturelle avec la démarche suivie. On peut sinon poser $d'(\widehat{x},\widehat{y}) = \lim_{n \to \infty} | x_{1,n} - y_{1,n} | + | x_{2,n} - y_{2,n} |$, avec $|x| = \max(x,-x)$ pour $x \in \mathbb{Q}$.)
On a alors $\tilde{X} / \sim$ qui est un esapce vectoriel de dimension 2 sur le sous-corps $\{ \widehat{(t_n,0)_n} \ ; \ (t_n)_n \ \text{ suite de Cauchy de } \mathbb{Q} \}$ en prenant pour multiplication externe la restriction de la multiplication interne pour les bons ensembles. Ce sous-corps est archimédien et complet et respecte l'axiome de la borne supérieure (et ? ...) et la multiplication est bien celle voulue.
Bien sûr, plein de détails sont à vérifier pour être sûr que je ne raconte pas n'importe quoi.
Et en espérant ne pas m'égarer.
Les notions de distances ne sont définies qu'après tout le reste. Et pour être parfaitement cohérent, j'aurais dû poser
$d'(\widehat{x},\widehat{y}) = \lim_{n \to \infty} \widehat{(| x_{1,n} - y_{1,n} | + | x_{2,n} - y_{2,n} |,0)}$, avec $|x| = \max(x,-x)$ pour $x \in \mathbb{Q}$.)
Nous n'utilisons pas $\mathbb{R}$ mais $\widehat{\mathbb{R}}==\{ \widehat{(t_n,0)_n} \ ; \ (t_n)_n \ \text{ suite de Cauchy de } \mathbb{Q} \}$.
P. S : Tu peux aussi prédéfinir la notion de "distance rationnelle" (les mêmes axiomes qu'une distance mais à valeurs dans $\mathbb{Q}$), montrer que tu peux y associer une topologie. Cela peut simplifier la rédaction de certains passages, mais la notion de "distance" (réelle) reste alors non définie. Avec ce procédé, on définit $\widehat{\mathbb{C}}=\{ \hat{x} \ ; \ x \ \text{ suite de Cauchy de } X \}$ et $\widehat{\mathbb{R}}=\{ \widehat{(t_n,0)_n} \ ; \ (t_n)_n \ \text{ suite de Cauchy de } \mathbb{Q} \}$ puis la notion de distance générale à valeurs dans $\widehat{\mathbb{R}}$, la première rencontrée étant $d'$.
Une remarque en passant : si on a un espace topologique $X$ avec une partie $A$ dense et $d$ une "distance rationnelle" compatible avec la topologie de $X$, c'est-à-dire ne donnant que des boules ouvertes qui sont des ouverts de $X$, définie sur $A$, on peut alors prolonger $d$ de manière unique en distance sur $X$. Par contre, la topologie définie pas $d$ peut être moins fine que la topologie dont $X$ est munie au départ.
J'ai des doutes sur l'utilité pratique des distances rationnelles. C'est assez contraignant et ça apporte peu.
Si on prend $X=\mathbb{N}\cup\{+\infty\}$ (les voisinages de $+\infty$ sont les ensembles cofinis le contenant), $A=\mathbb{N}$ et $d$ la distance usuelle sur $A$, comment prolonger $d$ sur $X$ ? (J'espère avoir bien compris ce que tu as dit.)
On peut alors aussi injecter $\mathbb{Q}$ dans $\widehat{ \mathbb{R} }$ par $q \mapsto \widehat{const_{(q,0)}}$ et munir $\widehat{ \mathbb{R} }$ d'un ordre qui prolonge celui de $\mathbb{Q}$, à savoir $\hat{(x_n,0)_n} < \hat{(y_n,0)_n}$ si $x_n < y_n$ à partir d'un certain rang.
Une fois définis cet ordre et la la notion de distance à valeurs dans $\widehat{ \mathbb{R} }$, on peut définir la notion de boule ouverte et celle de topologie associée à une distance à valeurs dans $\widehat{ \mathbb{R} }$.
De plus, on peut vérifier que la topologie associée à $d'$ est celle construite au départ (qui est déjà plus ou moins posée comme réunion de boules ouvertes mais écrit autrement car la notion n'est pas encore définie, la description peut je crois être plus courte à l'aide de "distance rationnelle").
(Sinon topologie produit sur un espace de suites puis topologie quotient ou un truc du genre ... pour vraiment définir la topologie à partir de rien et s'apercevoir 'haha' que c'est la même.)
Enfin, la topologie induite sur $\widehat{ \mathbb{R} }$ coïncide avec celle de l'ordre défini.
Bref, je ne sais pas si c'est une 'caractérisation de $\mathbb{C}$ sans $\mathbb{R}$' mais c'est bien une 'construction de $\mathbb{C}$ sans $\mathbb{R}$' à partir de la liste de notions déjà établies. A aucun moment, il n'y a notre "$\mathbb{R}$ usuel" !
Calli je réfléchis à ta question, j'espère ne pas m'être planté !
Je retire la remarque.
Je pourrais trouver à la corriger mais cela serait trop long et trop compliqué.
Ton contre-exemple est très pertinent. Au mieux, on définira un écart (un peu comme une distance mais à valeurs dans $[0,\infty]$...). Je pense qu'en remplaçant le mot 'distance' par 'écart' et en remplaçant '$X$ espace topologique' par '$X$ espace uniforme' (qui peuvent être définis uniquement avec des notions topologiques, les entourages, etc), on pourrait arriver à quelque chose. Il faut peut être encore rajouter des conditions comme $X$ est séparé.
Si on ajoute $X$ compact ou localement compact, je pense que l'écart se transforme en distance...
Bref je me suis beaucoup avancé sur ce point, merci Calli de ta réactivité ! ;-)
Je précise que je ne maîtrise pas la notion d'espace uniforme, je sais que cela existe et j'ai un bon livre de topologie qui en parle mais c'est tout ...