$n$-diagonalisation
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
Soit $ f \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ un endomorphisme polynomial, défini par :
$$ f ( x_0 , x_1 , x_2 ) = ( P_0 (x_0 , x_1 , x_2 ) , P_1,( x_0 , x_1 , x_2 ), P_2 ( x_0 , x_1 , x_2 )) $$
avec : $ P_0 , P_1 , P_2 \in \mathbb{R} [x_0 , x_1 , x_2]_2 $ sont des polynômes homogènes de degré $ 2 $.
On dit que, $ \lambda $ est une $ 2 $ - valeur propre de $ f $ si pour tout $ (x_0 , x_1 , x_2) \in \mathbb{R}^3 \ $ :
$$ \ f ( x_0 , x_1 , x_2 ) = \lambda ( x_0^2 , x_1^2 , x_2^2 ) $$
$ f $ est $ 2 $ - diagonalisable s'il existe une $ 2 $ - base de $ \mathbb{R}^3 $ telle que la $ 2 $ - matrice de $ f $ est de la forme : $ M (f) = \mathrm{diag}( \lambda_0 , \lambda_1 , \lambda_2 ) $ avec : $ \lambda_0 , \lambda_1 , \lambda_2 $ sont les $2$-valeurs propres de $ f $, et $ M(f) $ est $2$- diagonale.
Questions :
- Par quelle méthode peut-t-on trouver les $2$-valeurs propres de $f$ ? Est ce qu'on aura besoin d'une nouvelle notion de déterminant qu'on nommera $2$-déterminant ?
- Combien de $2$-valeur propres a-t-elle $ f $ ? trois. Non ? Pourquoi ?
- Qui peut poursuivre le développement de cette théorie de $ 2 $ - diagonalisation d'un endomorphisme polynomial jusqu'à la fin ? C'est à dire, trouver les sous $2$-espaces propres, la $2$-réduction matricielle ... etc ?
Merci infiniment.
Soit $ f \ : \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ un endomorphisme polynomial, défini par :
$$ f ( x_0 , x_1 , x_2 ) = ( P_0 (x_0 , x_1 , x_2 ) , P_1,( x_0 , x_1 , x_2 ), P_2 ( x_0 , x_1 , x_2 )) $$
avec : $ P_0 , P_1 , P_2 \in \mathbb{R} [x_0 , x_1 , x_2]_2 $ sont des polynômes homogènes de degré $ 2 $.
On dit que, $ \lambda $ est une $ 2 $ - valeur propre de $ f $ si pour tout $ (x_0 , x_1 , x_2) \in \mathbb{R}^3 \ $ :
$$ \ f ( x_0 , x_1 , x_2 ) = \lambda ( x_0^2 , x_1^2 , x_2^2 ) $$
$ f $ est $ 2 $ - diagonalisable s'il existe une $ 2 $ - base de $ \mathbb{R}^3 $ telle que la $ 2 $ - matrice de $ f $ est de la forme : $ M (f) = \mathrm{diag}( \lambda_0 , \lambda_1 , \lambda_2 ) $ avec : $ \lambda_0 , \lambda_1 , \lambda_2 $ sont les $2$-valeurs propres de $ f $, et $ M(f) $ est $2$- diagonale.
Questions :
- Par quelle méthode peut-t-on trouver les $2$-valeurs propres de $f$ ? Est ce qu'on aura besoin d'une nouvelle notion de déterminant qu'on nommera $2$-déterminant ?
- Combien de $2$-valeur propres a-t-elle $ f $ ? trois. Non ? Pourquoi ?
- Qui peut poursuivre le développement de cette théorie de $ 2 $ - diagonalisation d'un endomorphisme polynomial jusqu'à la fin ? C'est à dire, trouver les sous $2$-espaces propres, la $2$-réduction matricielle ... etc ?
Merci infiniment.
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Réponses
Merci d'avance.
Il me semble que les $ 2 $-valeurs propres $ \lambda_i $ ne peuvent pas être des scalaires, mais des formes linaires $ \lambda_i = \lambda_i ( x_0 , x_1 , x_2 ) \in \mathbb{R} [x_0 , x_1 , x_2 ]_1 $ ( i.e : polynômes homogènes de degré $ 1 $ ).
Et donc ce qui différence ce que j'ai appelé : $ 2 $-déterminant du vrai déterminant ( i.e : $ 1 $-determinant ), c'est que ce $ 2 $-determinant est un champ linéaire du $ 1 $-déterminant ( ou un champ linéaire qui n'a aucun lien avec le $ 1 $-determinant, c'est mieux ).
Qu'est ce que vous en pensez ?
Merci d'avance.
Edit :
Je modifie donc, la définition de la notion de $ 2 $-valeur propre comme suit :
On dit que, $ \lambda $ est une $ 2 $ - valeur propre de $ f $ si pour tout $ (x_0 , x_1 , x_2) \in \mathbb{R}^3 \ $ :
$$ \ f \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \lambda (x_0 , x_1 , x_2 ) \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $$
avec : $ \lambda (x_0 , x_1 , x_2 ) $ est une forme linéaire.
Si tu l'as lu, tu peux nous dire où ? Parce que ta transcription ne me semble que moyennement fiable.
Oui, j'invente un peu, mais il me semble que très bientôt, la communauté mathématique aura besoin de poser les briques de cette théorie pour définir ce qui sera appelé : Higher linear Algebra. Depuis l'an $ 2000 $, les chercheurs sont entrain de développer ce qu'on appelle Higher mathématique, suite à l'essor de la théorie de Higher category depuis à peu près $ 40 $ ans ... Donc, ils essayent d'injecter toute la mathématique d'avant l'an $ 2000 $ dans la Higher mathématique : Il y'a Higher Algebra, Higher géométrie, Higher algebraic geometry, Higher topology ... etc, et il ne reste pas beaucoup de temps pour commencer à s'interesser à Higher Linear Algebra.
@Chaurien :
D'accord.
Ton truc ne m'a pas l'air inintéressant, mais j'aurais besoin de savoir s'il sort de quelque chose de concret, où si tu t'y es intéressé "juste parce que ça a l'air de pouvoir être joli", pour regarder ça de plus près. Là comme ça, ça m'a l'air très artificiel comme construction...
Et du coup, pourquoi tu commences par la dimension 3 ?
Pourquoi toujours parler en franglais, @Pablo ? Pour reprendre ma prof de français qui a dit un jour "Ce n'est pas parce que vous mettez une majuscule à Dieu ou Histoire que ce que vous écrivez est plus intelligent", j'ai envie de dire : "Ce n'est pas parce que tu mets des mots en anglais que ce que tu écris est plus intelligent" (sans vouloir être cassant).
- Il n'est pas à l'écoute des autres.
- Méprise les autres et l'avis des autres.
- hostile aux autres.
... etc.
Où tu as vu que je suis de ce genre là ? Tu exagères ...
@marsup :
Pourquoi dimension $ 3 $ ? Parce que, je ne suis habitué à travailler qu'avec des matrices de taille : $ 3 \times 3 $. C'est rarement que je travaille
en dimension $ > 3 $. :-)
C'est juste pour tester puis généraliser à toute dimension.
Haute idée que l'on se fait de ses propres capacités.
Estime trop grande de soi-même.
"il me semble que très bientôt, la communauté mathématique aura besoin de poser les briques de cette théorie pour définir ce qui sera appelé : Higher linear Algebra."
C'est sympa de croire que tu sais ce dont les mathématiques de demain auront besoin. Moi, je trouve très prétentieux d'affirmer que tu sais ça, surtout de la manière dont tu l'as fait. Moi, je ne prétends pas savoir une chose pareille, je n'ai pas besoin de le savoir non plus : les mathématiques vont là où les gens trouvent quelque chose d'intéressant, et elles y vont d'autant plus vite que les découvertes que les gens font sont intéressantes en retour. Tout simplement.
Ce qui m'amène à : tu aurais pu réagir au reste de mon message !
Parce que, seul en anglais qu'on diffuse ces informations et ces données. Je n'ai pas le temps pour essayer de traduire correctement en français. J'apprends ça en anglais, pas en français. Tu peux remarquer que j'écris en français, et seul les termes qui relèvent de la mathématique qui sont en anglais parce que j'apprends ça en anglais, pas en français. Les français sont toujours à la traîne dans ce domaine de Higher mathematics.
Eh bien nous sommes ici sur un forum francophone et il n'est pas correct d'utiliser des mots d'une autre langue.
Maintenant, peut-être que tu as décidé de ne pas être correct.
Cordialement,
Rescassol
Si cette définition que tu fournis était correcte, tu n'aurais vu aucun progrès civilisationnel réalisé sur cette terre ... Si l'on croit ce que tu dis, alors, meme Alain Connes, Grothendieck, Lafforgue ... eux aussi sont des gens prétentieux. Quelqu'un qui est prétentieux, dès que tu lui parles, il te méprise ou minimise ta valeur au détriment de ses qualités. Où tu as vu que j'ai réagi de la sorte ?
Entre les réactions à ton fil "voilà pourquoi je m'intéresse aux maths" et ce que Calli et Rescassol ont dit ici en même temps que moi, je pense qu'il y a assez pour comprendre que ton message n'allait pas avoir des réactions très positives.
Je t'avais demandé s'il y a un truc concret qui t'a fait définir ce que tu as défini, et on dirait que tu m'ignores, ce qui n'est pas très sympa.
D'accord. Pardon.
La $ n $ - diagonalisation permettra de trouver une décomposition d'une variété géométrique en somme distinct de ses sous variétés les plus simples ( Donc, décomposition d'un truc compliqué en un truc très simple ), comme c'est le cas de la diagonalisation ordinaire qui permet de décomposer un espace vectoriel en somme directe de sous espaces propres ( donc, des trucs compliqués vers des trucs simples ).
J'ai proposé ce problème, mais, personne ne voudrait qu'on le fasse ensemble ( chacun propose des issues ).
Moi je ne sais pas le faire seul pour le moment.
si $f$ est un endomorphisme bijectif de $E$, il induit une homographie $h$ de l'espace projectif $\mathbb{P}(E)$, et il est intéressant de diagonaliser $f$, car les vecteurs propres sont les points fixes de $h$ + d'autres propriétés.
Que se passe-t-il si au lieu de prendre $h$ une homographie, on prend la version homogène de degré 2, c'est ça ?
Bonne question, il me semble, mais dire que c'est de l'algèbre linéaire supérieure semble en effet un peu tiré par les cheveux.
Oh mon Dieu, je suis épaté par ce que tu dis, je suis très ébahi par cette définition que tu donnes, et ces idées que tu m'éclaires. Je réfléchirai un peu puis te tenir au courant.
Oui, c'est ça. Très très belle remarque. :-)
Ah, mais je crois que ça existe déjà, sous le nom de "géométrie algébrique".
Si $h:\C\mathbb{P}^{n-1} \to \C\mathbb{P}^{n-1}$ est obtenue en projectivisant une application polynomiale homogène de degré $2$, combien de points fixes a-t-elle au minimum ?
Peut-on compter la multiplicité (géométrique/algébrique) de ces points fixes, et obtenir un invariant avec ceci ?
À quoi ressemblent les $\mathbb{P}(V)$, pour $V \subset \C^n$ qui sont stables par $h$ ?
Pablo parle de "2-diagonaliser" et de "2-valeur propre", si ça veut dire quelque chose définis-le... (pas besoin de le définir en général, juste de montrer un exemple où ça veut dire quelque chose)
Dans le post de départ $f ( x_0 , x_1 , x_2 ) = \lambda ( x_0^2 , x_1^2 , x_2^2 )$ pour tout $x$, c'est quoi $f$ et $\lambda$ ?
Maintenant, je comprend bien à quoi servent les différents théorèmes du point fixe ( Brouer, Shauder ...etc ) très utilisé en topologie algébrique, malgré leur rigidité. En géométrie algébrique ou en théorie des représentations, les points fixes ou les sous espaces irréductibles en générale sont très en abondance contrairement aux morphismes relevant de l'analyse ou de la géométrie différentielle ou topologie algébrique.
En géométrie algébrique toutes les questions auxquelles on peut répondre sont bonnes à prendre. Les points fixes d'une fonction ben c'est les zéros de $f(x)-x$, a priori c'est juste une sous-variété comme les autres. Si $f$ est une fonction $\Bbb{P}^n\to \Bbb{P}^n$ ben on la rempalce localement par une fonction rationnelle $\Bbb{A}^n\to \Bbb{A}^n$ pour définir $f(x)-x$.
C'est là qu'on a besoin de la notion de $ 2 $-diagonalisation :
Pour savoir combien de points fixes on a par $ h $, il faut, après la $2$-diagonalisation, calculer la taille du sous espace propre associé à la $ 2$-valeur propre : $ 1 $.
La multiplicité est la dimension du sous espace propre : $ E_1 $. L'invariant est la dimension ( de $ E_1 $ )
Aux sous $2$ -espaces propres de $ h $ après la $ 2$ - diagonalisation.
:-)
Cette question pourra servir à factoriser le plus possible un système d'équations polynomiales, de la meme façon qu'on factorise un polynôme : $ x^2 + xy+y^2 = (x-jy)(x-j^2 y) $, et améliorer notre compréhension sur : pourquoi la plupart des polynômes à plusieurs variables ne sont pas engendrées par des formes linéaires, c'est à dire, pourquoi ils ne sont pas factorisables ?
Cette décomposition existe toujours, mais $g$ n'est pas forcément un polynôme ou une fonction rationnelle, en général $g(x)$ est dans une extension finie de $\C(x)$, par exemple $f(x,y)= y^2-x^3=(y-x^{3/2})(y+x^{3/2})$.
Ce qui est cool c'est qu'on voit tout de suite que $f(x,y)$ est irréductible, parce que en fait $-x^{3/2}$ est le prolongement analytique de $x^{3/2}$ :
$(x,x^{3/2})$ c'est la même hypersurface que $(x,-x^{3/2})$, l'une se transforme en l'autre quand on suit une courbe qui tourne autour de $x=0$.
Oui, tu entends par prolongement analytique, la ''analytic continuation along a path''. Non ? ( Je ne sais pas le traduire en français ).
C'est à dire, qu'il existe un chemin allant de $ x^{3/2} $ et $ - x^{3/2} $. Non ?
C'est à dire, que : $ Z(f) $ est connexe ( i.e : irréductible ). Non ?
Pour moi, la notion d'irréductibilité est l'analogue algébrique de la notion de connexité.
Je t'avais posé le meme problème ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1916094
Tu ne m'as pas répondu.
Bref, si deux cycles sont équivalents rationnellement ( i.e : $ C_1 \sim_{ \mathrm{rat} } C_2 ) $ ), alors, il existe un élément $ \gamma $ d'un groupe $ G $ tel que : $ C_1 = \gamma_* C_2 $. C'est à dire, que l'action de $ G $ sur les cycles $ C $ est transitive. Non ?.
Bref, qui est ce groupe $ G $ ?.
Pour te donner une idée :
Si tu vas sur le livre de Claire Voisin sur la théorie de Hodge ( Je ne me souviens pas de son titre ), il y'a un chapitre qui aborde ceci pour les cocycles, qui sont les éléments des groupes de Cohomologie.
Ce chapitre dit :
On a une action du groupe de monodromie sur les cocycles définie par : $ \pi_1 (X,x) \to H^{k} (X_x, \mathbb{Q} ) $, et que cette action est transitive si je ne m'abuse.
Bref, quel est l'analogue $ G $ du groupe : $ \pi_1 (X , x ) $ opérant sur $ H^k (X_x , \mathbb{Q} ) $, lorsqu'il s'agit des groupes de Chow. Autrement dit, si deux cycles sont équivalents rationnellement ( i.e : $ C_1 \sim_{ \mathrm{rat} } C_2 ) $ ), c'est qui $ G $ tel qu'il existe un élément $ \gamma $ de $ G $ tel que : $ C_1 = \gamma_* C_2 $ ?.
J'espère que c'est claire maintenant.
Merci d'avance.