Caractère irréductible et idempotent central

claude quitté · January 2020

Contexte : $G$ un groupe fini, $\C[G]$ l'algèbre du groupe $G$ sur $\C$, $(W, \rho)$ une représentation irréductible de $G$, $e_\chi$ l'idempotent central attaché à $\chi$ :
$$
\C[G] = \bigoplus_{g \in G} \C \varepsilon_g, \qquad\qquad e_\chi = {\chi(1) \over \#G} \sum_{g \in g} \chi(g^{-1}) \varepsilon_g
$$Enfin, soient $w \in W$, $\mu \in W^*$ (le dual de $W$) et $s$ la somme
$$
s = \sum_{g \in G} \mu(g^{-1} w) \varepsilon_g
$$Je cherche une preuve du fait que $s \in \C[G]e_\chi$. Et tant qu'à faire, une preuve directe et élémentaire.

Merci (comme d'habitude, forte récompense).

reuns · January 2020

\begin{align*}
sh& = \sum_g \mu(g^{-1}w) gh= \sum_g \mu((gh^{-1})^{-1}w) (gh^{-1})h= \sum_g \mu(h g^{-1} w) g, \\
e_\chi g^{-1} w&=g^{-1} w\\[5pt]
&\implies \\[5pt]
se_\chi& =\sum_g \mu(e_\chi g^{-1} w) g=\sum_g \mu(g^{-1} w) g= s.
\end{align*}

claude quitté · January 2020

$\def\tr{\text{tr}}$Merci. Cela me dépanne bien sur un truc (de débutant) que j'avais commencé il y a deux ans.
J'avais ``oublié'' que (la multiplication par) $e_\chi$ est l'identité sur $W$ vu que $W$ est irréductible de caractère $\chi$. Il y a également cette astuce de rentrer $e_\chi$ sous le $\mu$.

Dans le même contexte et le même ordre d'idées, j'ai pu montrer en te suivant que pour $u : W \to W$ endomorphisme de l'espace vectoriel $W$, la somme $s$ de $\C[G]$ :
$$
s = \sum_g \tr(g^{-1} u) g \quad \text {appartient à} \quad \C[G]e_\chi
$$Du coup, j'attache un AUTRE truc qui me restait à montrer. Le contexte est le même : $W$ est un $G$-module irréductible de dimension $d$ et il faut montrer la relation rouge encadrée. Je vais voir si cela résiste ou pas.

Note : sans aucun doute, ce sont des résultats classiques que je revisite et que je veux (voulais) prouver directement. 95250

claude quitté · January 2020

$\def\Tr{\text{Tr}}$Hello,
Je suis à la recherche d'une preuve élémentaire du résultat suivant. Soit $(W, \rho)$ une représentation (complexe) irréductible de dimension $d$ d'un groupe fini $G$. Je considère deux endomorphismes $u, v : W \to W$ (des endomorphismes pas des $G$-morphismes). Alors
$$
\Tr(u \circ v) = {d \over \#G} \sum_{h \in G} \Tr(\rho(h^{-1}) \circ u) \ \Tr(\rho(h) \circ v)
$$C'est lié à ``inversion de Fourier'', ``relations d'othogonalité de Schur'' mais ce que je veux, c'est une preuve directe.

Merci.

Maxtimax · January 2020

Claude : Tu as un petit problème de parenthésage dans ton dernier message.

Je n'ai pas de réponse complète, mais avec une astuce comme celle de reuns, on peut voir que tes deux derniers messages sont liés.

En effet, la somme de ton dernier message peut se réécrire comme $Tr(\Phi(u) v)$, et donc tu demandes : $Tr(\Phi(u) v) = Tr(u\circ v)$

Maintenant si je regarde $\Phi(u)h$, une astuce comme celle de reuns te donne que ça vaut $\frac{d}{\#G}\sum_{g\in G}Tr(hg^{-1}u)g$, et donc $\Phi(u)\Phi(v) = \frac{d}{\#G}\sum_{g\in G}Tr(\Phi(v)g^{-1}u)g$.

En admettant le résultat de ton dernier message, $Tr(\Phi(v)g^{-1}u) = Tr(v\circ g^{-1}u) = Tr(g^{-1} u\circ v)$, donc $\Phi(u)\Phi(v) = \frac{d}{\#G}\sum_{g\in G}Tr(g^{-1} u\circ v)g = \Phi(u\circ v)$.

Pour ton dernier message, je ne sais pas trop; mais ta somme peut s'interpréter comme la trace de $P\circ (u^*\otimes v)$ (où $u^*\otimes v : W^*\otimes W\to W^*\otimes W$), avec $P = \frac{d}{\#G}\sum_{g\in G}\rho_{W^*\otimes W}(g)$.

claude quitté · January 2020

Maxtimax
J'ai corrigé les parenthèses (ça la fout mal). Oui, je sais que mes deux posts sont liés et que la formule de l'un est équivalente à la formule de l'autre.

Je sais également que ces formules sont vraies. Elles figurent par exemple dans le Bourbaki Algèbre chap. 8 (Modules et anneaux semi-simples), très exactement dans la section 21 (Représentation linéaires des groupes finis) et encore plus exactement en 21.5 et 21.6 (et pourquoi pas y mettre 21.7).

Il y a à ces pages une tripotée de formules. Mais moi, peut-être que j'ai tord, je voudrais faire avec rien, disons avec le fait que $(W, \rho)$ est irréductible. Il y a des choses également dans Serre : je n'ai pas regardé car j'attends que cela se décante. Que je dis. Mais en fait, j'avais cela dans mes affaires depuis 2 ans et rien ne s'est décanté tout seul (sauf le truc que Reuns a réussi à prouver directement).

Bien à toi.

Paul Broussous · January 2020

En fait, c'est plus que "lié" aux relations d'orthogonalité de Schur. Via l'isomorphisme canonique ${\rm End}_{\C}(W)=W\otimes W^*$, ta relation est la relation d'orthogonalité des coefficients. En effet il suffit, par bilinéarité, de tester ta relation sur des endomorphismes $u$ et $v$ de la forme $u=x\otimes x^*$ et $v=y\otimes y^*$. On obtient alors
$$
x^* (y)\times y^* (x) = d \ \langle c_{x,x^*},c_{y,y^*} \rangle
$$
où $c_{v,v^*}$ désigne le coefficient attaché aux vecteur $v$, forme $v^*$.

claude quitté · January 2020

$\def\Tr{\text{Tr}}$Salut Paul. J'ai pigé. Merci. OUPS NON
Ta relation, pour $x, y \in W$, $x^*, y^* \in W^*$, je l'écris en expansion (c'est une égalité de scalaires)
$$
x^*(y)\ y^*(x) = {d \over \#G} \sum_g x^*(gx) \ y^*(g^{-1}y) \qquad(\heartsuit)
$$Pour la montrer, il suffit de prouver l'égalité de vecteurs
$$
x^*(y)\ x = {d \over \#G} \sum_g x^*(gx) \ g^{-1}y \qquad \qquad (\heartsuit')
$$On obtiendra $(\heartsuit)$ à partir de $(\heartsuit')$ en appliquant la forme linéaire $y^*$.

Pour obtenir $(\heartsuit')$, le truc habituel. On considère $f : W \to W$ définie par $x \mapsto \sum_g x^*(gx) \ g^{-1}y$. C'est un $G$-morphisme donc (Schur) multiple de $\text{Id}_W$. On obtient le multiplicateur à l'aide de la trace de $f$ et $\#G$, le truc habituel, je zappe.

Et une fois que l'on a $(\heartsuit)$, on propage cela aux endomorphismes de $W$. En utilisant le fait que $x^*(y)$ c'est la trace de $x^* \otimes y$ ..etc..

DAMNED je vais trouver
$$
\Tr(u)\Tr(v) = \frac{d}{\#G} \sum_h \Tr\big(\rho(h) \circ u \circ \rho(h^{-1}) \circ v\big)
$$que j'avais déjà dans ma caisse à outils. Alors que je vise
$$
\Tr(u \circ v) = {d \over \#G} \sum_{h \in G} \Tr(\rho(h^{-1}) \circ u) \ \Tr(\rho(h) \circ v)
$$Je dois m'y prendre comme un manche.

Paul Broussous · January 2020

Non Claude, tu trouves bien ce que tu veux : $x^*(y)\ y^*(x)$ ça n'est pas ${\rm Tr}(u)\, {\rm Tr}(v)$, mais ${\rm Tr}(u\circ v)$ !

claude quitté · January 2020

Paul,
Tu as raison : juste un petit coup de fatigue de ma part. Encore merci.

Paul Broussous · January 2020

à Claude. Je ne connaissais pas cette version "endomorphisme" de l'orthogonalité des coefficients. Tu es tombé dessus comment ? Amicalement et bonne nouvelle année de retraite bien méritée !

claude quitté · January 2020

Resalut Paul.
Je suis tombé dessus la première fois il y a 2 ans grâce à une ``calculette'' écrite par mézigue. A l'époque, je ne disposais pas de preuve seulement de vérifications expérimentales. Calculette : tout a commencé quand j'ai décidé d'implémenter dans Serre (Représentation linéaire des groupes finis) la section 2.6 (La décomposition canonique d'une représentation) et 2.7 (Décomposition explicite d'une représentation).

Disposer d'une calculette te permet de vérifier expérimentalement des relations et ``d'inventer des choses'' (que tu redécouvres plus tard dans la littérature). Comme la programmation était un peu compliquée, de manière simultanée, je me suis écrit une note. Et de fil en aiguille, je suis tombé sur le $\Phi$ encadré en rouge version $W \otimes W^*_{\rm triv}$ dans la page que j'attache.

Et ensuite, je suis passé à la version $\text{End}(W)$ : il y avait un certain nombre de trous dans ma note, en particulier $\Phi(u \circ v) = \Phi(u)\,\Phi(v)$.
Et j'ai ouvert le Bourbaki (Algèbre VIII, section 21 Représentation linéaire des groupes finis). Et j'ai compris qu'il y figurait toutes les relations dont j'avais besoin. Mais pour moi , il y en avait trop dans tous les sens, j'en ai eu marre et j'ai laissé tomber (en janvier 2018).

Et récemment, j'ai remis cela sur le tapis via ce fil dans l'espoir d'obtenir des preuves les plus directes possible. Reuns m'a aidé via une preuve directe d'une certaine relation puis toi pour $\Phi(u \circ v) = \Phi(u)\,\Phi(v)$.

En maths, on n'invente rien, on redécouvre : les relations sur la trace de $u \circ v$ est la relation (20) p. 399 dans la section 6. Relations d'orthogonalité de Schur. Et la version rang $\le 1$ que tu m'as donnée est la relation (21) à la même page.

Voilà, tu sais tout ou presque. 95370

reuns · January 2020

C'est facile de montrer qu'il existe une base d'idempotents centraux orthogonaux $\sum_j e_j =1, e_j\in Z(\C[G]), e_j^2=e_j,e_ie_j=0$ en montrant que le centre de $\C[G]$ est un sous-anneau de $\sum_i P_i \C$ où les $P_i:\C[G]\to W_i$ sont les projections sur ses sous-représentations irréductibles, qui commutent avec $\C[G]$ parce qu'à chaque fois qu'on a une projection $Q$ sur une sous-représentation on la remplace par $\frac1{|G|}\sum gQ g^{-1}$. Avec un peu d'effort on a que $e_j = \frac{n_j}{|G|}\sum_g \chi_j(g^{-1})g$ où les $\chi_j$ sont les caractères des représentations irréductibles et $n_j$ est le nombre de $W_i$ avec comme caractère $\chi_j$.

Ça donne toutes les relations sur les caractères, sauf une : que $\frac1{|G|}\sum_{g\in G} |\chi_j(g)|^2=1$.

Comment on fait d'habitude pour la montrer ?

Note que $e_j^2=e_j$ donne directement $\frac1{|G|}\sum_{g\in G} |\chi_j(g)|^2=\frac{\chi_j(1)}{n_j}$.

Le lien avec le problème de Claude, déjà mentionné comme "c'est l'orthogonalité de Schur", c'est que cette relation implique $\dim(e_j \C[G])= \dim(End(W_i))$ d'où il est immédiat que $ e_j \C[G] \to End(W_i), e_j g\to e_jg P_i$ est un isomorphisme (où $W_i=P_i\C[G]$ est une représentation irréductible avec comme caractère $\chi_j$)

claude quitté · January 2020

Reuns
Ton ``comment on fait d'habitude pour la montrer ?'' n'est pas une question n'est ce pas ? Puisque tu y réponds dans la ligne en dessous.
Une remarque : dire que $e_\chi$ est idempotent ($\chi$ est un caractère irréductible de dimension $d$) équivaut à la collection d'égalités indexée par $g \in G$ :
$$
\sum_h \chi(h) \chi(gh^{-1}) = { \#G \over d} \chi(g)
$$Quand on y fait $g=1$, on tombe sur ton égalité.

Note : dans ton avant dernière ligne, manque un carré : $\dim(W_i)^2$ et pas $\dim(W_i)$

Caractère irréductible et idempotent central

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