Commutons les limites et cocommutons-les

C'est une bonne question, j'ai envie de dire que non.

En fait on m'a posé une question similaire récemment, et j'avais trouvé un contrexemple mais avec $J$ infini, mais il s'avère que je peux en réalité le simuler avec $J$ fini donc tout va bien, je l'explique ici.

Je prends $I= \mathbb N$ les entiers, ordonnés dans le sens inverse de d'habitude, et $J$ le diagramme de coégaliseur usuel (deux objets, de flèches de $a$ vers $b$).

Je prends $F(n,a) = F(n,b) = \mathbb Z/p^n\mathbb Z$, je mets la réduction modulo $p^n$ le long des entiers, et le long de $a\to b$, je mets l'identité pour une des flèches, et $x\mapsto x+1$ le long de l'autre. Comme $+1$ commute avec la réduction modulo quoi que ce soit, ça me fait bien un foncteur $F:I\times J\to C$.

Maintenant le point est que si je prends la colimite selon $J$ d'abord, je tue tout : en effet si on coégalise $x$ et $x+1$ dans $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$, on se retrouve à coégaliser tout le monde, donc $\mathrm{colim}_J F(i,-) = \{*\}$ quel que soit $i$. Il s'ensuit que le terme de droite de ta flèche n'est qu'un point.

Inversement, si je prends d'abord la limite, je me retrouve avec les $p$-adiques $\mathbb Z_p$, et ensuite je coégalise $x$ et $x+1$, mais ça ça a l'effet de me donner $\mathbb Z_p/\mathbb Z$, et il est connu que ce n'est pas un point (sauf pour $p=1$) ; donc pas un isomorphisme.

Oui, par exemple la cardinalité le prouve.
Sinon tu peux exhiber directement un élément non trivial : quelque chose qui se comporte comme $\sum_n p^n$; plus précisément tu prends comme résidu modulo $p^n$ : $\sum_{k=0}^{n-1}p^k$. Il est évident qu'aucun entier n'a cette suite de résidus.

Prendre la catégorie des groupoïdes au lieu des ensembles ne changera pas grand chose : tu as une inclusion (pleinement fidèle) $\mathbf{Ens\to Gpd}$ qui a un adjoint à gauche et qui exhibe $\mathbf{Ens}$ comme une sous-catégorie réflexive de $\mathbf{Gpd}$, donc ladite inclusion préserve les limites, mais elle a aussi un adjoint à droite, et donc elle préserve aussi les colimites. Donc si tu as un défaut d'isomorphisme dans $\mathbf{Ens}$, tu en auras aussi un dans $\mathbf{Gpd}$, on se simplifie donc la vie en restant dans $\mathbf{Ens}$ (sauf si tu pensais spécifiquement à des groupoïdes connexes ou quelque chose du genre, où le $\pi_0$ joue un rôle limité).

J'avoue que je ne sais pas quel genre d'hypothèses permettrait de conclure avec $J$ fini, $I$ infini. En fait je vais dire qu'il n'y en a pas, mais c'est pas vrai; mais je m'explique : si $J$ n'est pas connexe (au sens large), la colimite sur $J$ c'est un coproduit des colimites sur les composantes connexes donc c'est pas très important, donc on "peut se ramener" à $J$ connexe. Dans ce cas-là, de deux choses l'une : ou bien c'est un préordre, auquel cas il est équivalent à un ordre qui a un objet final, et donc la colimite revient à évaluer en cet objet final, et donc c'est pas intéressant (mais le résultat est vrai; mais bon...); ou bien il y a $x,y$ avec deux flèches distinctes $x\to y$. Dans ce cas-là, on ne peut pas dire directement "on peut faire pareil qu'en haut" (parce que les flèches distinctes pourraient après tout avoir des relations bizarres entre elles à cause d'autres flèches), mais moralement on devrait pouvoir se débrouiller pour créer un exemple similaire.

Bon après $I$ infini ça peut être très très bizarre, donc à nouveau j'ai pas de théorème précis à citer; mais heuristiquement (je peux me tromper !!!) j'ai envie de dire que ça ne risque pas d'arriver.

En fait le coup du $J$ filtrant + $I$ fini je le vois plus comme un coup de chance qu'autre chose (bon c'est lié à un peu d'homotopie si je ne me trompe pas donc c'est pas complètement un coup de chance, mais le fait qu'il y ait "$I$ fini", selon moi... bon pour être un poil plus précis : c'est lié au fait que $X\times -$ soit un adjoint à gauche, ce qui n'est absolument pas le cas de $X\sqcup -$, ce qui explique l'asymétrie)

Mais comme j'ai pas dit grand chose de mathématique là, juste des intuitions, je peux me tromper lourdement ! A part les deux premiers paragraphes il ne faut pas prendre au pied de la lettre

Bonsoir,

J'avais pensé à un contre-exemple dans le bus, mais il semble que Maxtimax a eu le temps d'en rédiger un joli le temps que j'arrive.


Mon contre-exemple est assez minimaliste: prenons $I = a \leftarrow \ast \rightarrow b$, c'est la catégorie du diagramme du pushout, et c'est bien cofiltrant. Prenons $J = 0, 1$, la catégorie discrète à deux éléments.

Les colimites sur $I$ sont des pushouts, les limites sur $I$ sont simplement l'évaluation en $\ast$ car c'est un objet initial.
Les colimites sur $J$ sont les copropduits, et les limites sur $I$ sont les produits.

Prenons $F : I \times J$ tel que $F(\ast, 0) = F(\ast, 1) = \varnothing$, et $F(a,0) = F(a,1) = F(b,0) = F(b,1) = \{\varnothing\}$. Le foncteur est défini par les inclusions évidentes au niveau des morphismes.


Alors $\ \underset{J}{\mathrm{colim}} \lim\limits_I F$ est l'ensemble vide puisque c'est l'union disjointe (colimite sur $J$) de deux ensembles vides (limites de $F$ sur $I$). Et $\lim\limits_I \underset{J}{\mathrm{colim}}F$ est le produit de deux pushouts d'ensembles à un élément le long de l'inclusion par l'ensemble vide. Un pushout le long de l'inclusion par l'ensemble vide est juste une somme disjointe. Donc $\lim\limits_I \underset{J}{\mathrm{colim}}F$ est le produit $(\{\varnothing\} \coprod \{\varnothing\}) \times (\{\varnothing\} \coprod \{\varnothing\})$. Et la flèche $\kappa$ n'est pas un insomorphisme dans ce cas.

EDIT: Comme me l'a fait remarquer toutoune, ce qui précède est honteusement faux.

Après une bonne nuit de sommeil, je pense être arrivé à la conclusion que l'exemple de Maxtimax est l'un des plus "minimalistes" possible.

Je cherchais un exemple avec $I$ fini, mais si un préordre sur un ensemble fini est cofiltrant, il a un objet initial, et la limite revient à évaluer en cet objet initial, disons $s$. Dans ce cas, prendre la limite sur $I$, puis la colimite, revient à ne garder que les objets initiaux de chaque tranche du type $I \times \{j\}$, pour avoir le diagramme $\{s\} \times J$, et prendre la colimite sur $J$ de ce dernier. Dans l'autre terme, on fait d'abord les colimites de chaque $\{i\} \times J$, puis on garde uniquement celle qui correspond à $\{s\} \times J$... Autrement dit, la même chose.

De manière plus catégorique, le foncteur $\lim\limits_I$ est l'évaluation en l'objet initial $s$ de $I$, ce foncteur a un adjoint à gauche droite, donné par la formule $X \mapsto \mathrm{Hom}_{Set}(\mathrm{Hom}(-,s), X)$, donc il préserve les colimites...

Ça donne au moins une condition à laquelle on peut faire commuter la colimite et la limite, même si elle n'est pas très intéressante. Tout ça pour dire que mes tentatives étaient vouées à l'échec. Du coup, avec un préordre, il faut au moins $I$ infini, et dans ce cas, on retombe sur l'exemple de Maxtimax.

Désolé d'avoir pollué le fil avec mes faussetés.