Représentations et faisceaux

Je vais essayer de tenir ma promesse initiale de relier théorie des faisceaux et représentations modulaires. C'était beaucoup plus long que prévu et en fait je suis toujours en train de rédiger les futures parties 3) et 4) :-D
En gage de bonne foi je propose de partager la première partie, modeste, qui introduit les nombres de décompositions (qui peuvent être calculés en utilisant des faisceaux). La deuxième partie introduit la théorie de Springer. J'ai aussi écrit quelques lignes à propos des faisceaux. Comme c'était assez long j'ai préféré ouvrir un nouveau fil.

Dans une troisième partie, je vais essayer d'expliquer comment à partir des faisceaux on peut construire les représentations irréductibles du groupe symétrique. Dans la partie finale j'expliquerais ce qui se passe en caractéristique positive.

Bien évidemment je n'ai rien inventé, la théorie de Springer est assez ancienne, et la relation avec les représentations modulaires est relativement récente et c'est Juteau qui a été le premier à l'étudier.

En tout cas, n'hésitez pas à poser des questions !! J'essayerais de répondre dans la mesure du possible, et normalement ça devrait être possible de faire des petits exemples.
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[size=large]1) Nombres de décompositions[/size]

Rappel : une représentation d'un groupe fini $W$ est équivalente à un module sur l'anneau $\Bbb C[W]$. Un module est simple si il ne possède pas de sous-module non trivial. Un module $M$ est semisimple s'il peut s'écrire comme somme directe de modules simples.

Soit $W = \mathfrak S_n$ le groupe symétrique à $n$ lettres. Si $k$ est est un corps de caractéristique $0$ ou $p$ qui ne divise pas $n$, alors la catégorie des représentations de $W$ est semisimple, ce qui signifie que tout $W$-module $M$ peut s'écrire comme $M \cong \oplus_{\lambda \vdash n} D(\lambda)^{m_{\lambda}}$, où $D(\lambda)$ sont certains modules irréductibles indexés par les partitions de $n$. En fait, on peut construire explicitement les $D(\lambda)$ de manière combinatoire à partir des tableaux de Young mais c’est une autre histoire.

Par construction, les représentations $D(\lambda)$ peuvent être construite avec des matrices à coefficients entiers. On peut donc les “réduire modulo $p$” et on obtient une représentation $D(\lambda)$. Il s’avère qu’il existe un unique quotient simple noté $S(\lambda)$. Les représentations simples de $W$ en caractéristique $p$ sont classifiés par les $S(\lambda)$ pour une certain sous-ensemble des partitions de $n$. (Un exemple explicite pour $n=5$ est donné ici )

Pour aussi voir ce qu’il se passe un peu mieux, un exemple de module non semisimple est le module $V = \Bbb F_2^2$ où $W = \mathfrak S_2$ agit par permutation.
Pour donner un petit exemple pour $\mathfrak S_2 = \langle \tau \rangle$ on obtient deux représentations : $D(2)$ qui correspond à la représentation triviale, et $D(1+1)$ qui correspond à la représentation alternée (c’est à dire que $\tau$ agit par multiplication par $-1$). On voit donc que $D(2) = S(2)$ et $D(1+1) = S(2)$.


[size=large]2) Théorie de Springer[/size]

Si $G$ est un groupe algébrique semisimple (par exemple $\mathrm{SL}_n(\Bbb C)$) alors il possède un groupe de Weyl associé (par exemple $W = \mathfrak S_n$). Il est possible d’étudier les représentations de $W$ de manière géométrique. Je vais essayer d’expliquer comment en spécialisant à $G = \mathrm{SL}_n(\Bbb C)$.

Soit $\mathfrak{sl}_n = \{M \in M_n(\Bbb C) : tr(M)=0\} $ et $\mathcal N \subset \mathfrak{sl}_n$ le sous-ensemble des matrices nilpotentes. Soit $B \subset \mathrm{SL}_n(\Bbb C)$ l’ensemble des matrices triangulaires supérieures.

Théorème : L’espace $G/B$ est une variété algébrique projective, dont les points complexes s’identifient avec les suites $$\{ V_0 \subset V_1 \subset \dots \subset V_n : V_i \text{ est un sous-espace vectoriel de dimension } i \}$$

Une telle suite s'appelle un drapeau. Essayons de donner une “preuve” : $\mathrm{SL}_n$ agit transitivement sur l’espace des drapeaux. Par conséquent, les drapeaux s’identifient à $\mathrm{SL}_n/S$ où $S$ est le stabilisateur d’un drapeau, par exemple $\langle e_1 \rangle \subset \langle e_1,e_2\rangle \subset \dots $. Dans ce cas, il est clair que $S=B$.

Par exemple, pour $G = \mathrm{SL}_2$ la variété de drapeau est simplement l'ensemble des droites de $\Bbb C^2$, c'est à dire la droite projective $\Bbb P^1$. Topologiquement c'est la sphère $S^2$.

Soit $\tilde{\mathcal{N}} = T^*(G/B)$ son fibré cotangent. On peut le décrire de la manière suivante : $\tilde{\mathcal{N}} = \{(x,V) : x \in \mathcal{N}, xV_i \subset V_{i-1}\}$. Par conséquent on obtient une application $\mu : \tilde{\mathcal N} \to \mathcal N, (x,V) \mapsto x$.

Le théorème fondamental est le suivant :

Théorème (Springer) :
$\mu : \tilde{\mathcal{N}} \to \mathcal N$ est une résolution des singularités.

Définition : Les fibres $\mu^{-1}(x)$ sont appelés les fibres de Springer, notées $\mathcal B_x$. Par exemple, $\mathcal B_0 = \mathcal B$, et si $x$ possède un seul bloc de Jordan alors $\mathcal B_x$ est un point.

Exemple : Soit $G = \mathrm{SL}_3$. Alors on a trois classes de conjugaison nilpotentes, qui correspondent aux partitions $1+1+1,2+1,3$. La première est la classe de $0$, la matrice nulle. Par définition on a $\mu^{-1}(0) = \mathcal B$. Si $x$ est associé à la partition $3$, il ne possède qu'un seul bloc de Jordan et donc s'écrit $x = \begin{pmatrix}

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}$. Soit $V_{\bullet}$ un drapeau stable par $x$. Alors $x(\Bbb C^3) = V_2$ par hypothèse. Comme $x$ possède une image de dimension $2$, on obtient immédiatement que $V_2 = \langle, e_1, e_2 \rangle $. De même, $xV_2 \subset V_1$ force l'égalité $V_1 = \langle e_1 \rangle$. On en arrive au cas le plus intéressant : $x$ est sous-régulier, c'est à dire qu'il correspond à la partition $(n-1) + 1$, ici $2 + 1$. On a cette fois ci $x = \begin{pmatrix}

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}$

Exercice : Montrer que la fibre de Springer $\mathcal B_x$ est donné dans ce cas par l'union de deux droites projectives qui s'intersectent en un point.

En utilisant ce théorème et la théorie des faisceaux, il est possible d’obtenir la correspondance de Springer pour $\mathrm{SL}_n$ : il existe une bijection entre les orbites nilpotentes et les représentations irréductibles du groupe symétrique.

Si par exemple $G = \mathrm{SO}_n$, la correspondance existe toujours mais est un peu plus compliquée à énoncer.

Essayons de détailler un peu plus la correspondance. Il est facile de voir que la fibre de $f : \tilde{\mathcal N} \to \mathcal N$ ne dépend que de la classe de conjugaison de $x \in \mathcal N$. En utilisant les faisceaux, on peut construire une action de $W = \mathfrak S_n$ sur la cohomologie $H^{top}(f^{-1}x,\Bbb C)$, où "top" est le plus haut degré non nul. En fait ce processus construit bijectivement les représentations irréductibles de $W$. C'est bien cohérent avec ce qu'on a dit avant, car les classes de conjugaison du cône nilpotent sont classifiés par les partitions en utilisant la forme normale de Jordan. Il y a des conséquences combinatoires assez intéressantes expliquées dans le livre de Chriss et Ginzburg.

Il reste donc essentiellement à expliquer comment construire cette action de $W$ sur la cohomologie des fibres, en utilisant la théorie des faisceaux. C'est l'objet de la troisième partie.

Pour voir qu'il est nécessaire de prendre le degré maximum de la cohomologie : en fait il est classique par un résultat de Borel que $H^{\bullet}(G/B, \mathbb C) \cong \mathbb C[W]$ !! Donc si on regarde toute la cohomologie, alors l'algèbre de groupe est déjà isomorphe à la cohomologie de la fibre centrale. Mais la théorie de Springer propose une approche différente, qui utilise le cône nilpotent en entier.

[size=large]3)' Faisceaux :[/size]

Soit $X$ un espace topologique. Si $V$ est un espace vectoriel, on obtient un faisceau $\underline{V}_X(U) = \{s : U \to V \text{ est localement constante }\}$. On appelle un faisceau de cette forme un faisceau constant.

Définition : Un système local sur $X$ est un faisceau $\mathscr L$, localement isomorphe à un faisceau constant.

Exercice : soit $f : \Bbb C^* \to \Bbb C^*, z \mapsto z^2$. Alors $f_*\underline{\Bbb C}_{\Bbb C^*}$ est un système local qui n’est pas constant. (On rappelle la définition de l'image directe : si $f : Y \to X$ est continue, et $\mathscr F$ un faisceau sur $Y$, alors $f_* \mathscr F$ est le faisceau sur $X$ défini par $f_* \mathscr{F}(U) = \mathscr{F}(f^{-1}(U))$).

Exemple important de système local : soit $f : Y \to X$ un fibré localement trivial (c’est à dire, il existe un espace $F$ et un recouvrement ouvert de $X$ tel que $f_{\mid U}$ est isomorphe à la projection $U \times F \to U$). Alors $R^if_* \underline{\Bbb C}_Y$ est un système local, où $R^if_* \underline{\Bbb C}_Y(U) = H^i(f^{-1}(U), \Bbb C)$.

En fait le théorème de changement de base propre implique que $(R^if_* \underline{\Bbb C}_Y)_x = H^i(f^{-1}(x), \Bbb C)$ quand $f$ est une application propre. $R^if_* \underline{\Bbb C}_Y$ donc un faisceau sur $X$ qui "réunit" toute la cohomologie des fibres dans un faisceau, mais qui contient plus d'informations (par exemple la monodromie).

On peut décrire un système local de manière très concrète :

Théorème : un système local est équivalent à la donnée d’une représentation du groupe fondamental de $X$.

Les faisceaux utilisés en théorie de Springer sont des faisceaux qui ressemblent à différents systèmes locaux “collés” ensemble. De manière plus précise, soit $G$ un groupe qui agit sur $X$ avec un nombre fini d’orbites (par exemple : $\mathrm{SL}_n$ qui agit sur le cône nilpotent). Un faisceau constructible sur $X$ est la donnée d’un faisceau $\mathscr{F}$, tel que pour tout orbite $\mathcal O$, $\mathscr{F}_{\mid \mathcal O}$ soit un système local.

Exemple (clé) : $R^i\mu_* \underline{\Bbb C}_{\tilde{\mathcal N}}$ est un faisceau constructible sur le cône nilpotent.

3) Construction de l'action de $W$ : en rédaction

4) Le cas de la caractérstique positive : pareil :-)

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Quelques références :

Représentations de $\mathfrak{S}_n$ :

- "Young Tableaux" de William Fulton
- "Representation theory" de Harris et Fulton
En français :
- http://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/Gwendal.Soisnard/Rapports_2016/Marie_Derrien_35667.pdf
- https://orbilu.uni.lu/bitstream/10993/14380/1/TheorieRepresentationsGroupeSymetriqueVersOrbi.pdf

Cône nilpotent :

- "Éléments de géométrie" par Rached Mneimné.
- Le projet de licence de Vinoth Nandakumar : https://pdfs.semanticscholar.org/34ae/e485377b9b553c5079832b09eacca3c1bc33.pdf

Théorie de Springer :

- "Complex geometry and representation theory" de Chriss et Ginzburg.
- http://www.math.harvard.edu/~ana/part1.pdf (essentiellement le chapitre 3 du livre de CG).

Faisceaux :

- Faisceaux constructibles, systèmes locaux : https://webusers.imj-prg.fr/~fouad.elzein/elzein-snoussif.pdf
- Le seul article d'exposition avec des dessins (!) sur les faisceaux pervers : http://people.mpim-bonn.mpg.de/geordie/perverse_course/lectures.pdf