Représentations et foncteurs

Je ne crois pas qu'il y a des liens, c'est juste deux interprétations différentes d'un même mot. En tout cas à ma connaissance, une représentation n'est pas un cas particulier d'un foncteur représentable.

Pour l'importance des foncteurs représentables, je ne suis pas sûr à 100%. Je sais juste qu'ils apparaissent souvent, ce qui est peut-être déjà une bonne raison en soit ? :-D

_______(Blabla un peu hors-sujet)________

En géométrie algébrique moderne (aïe, si Claude passe par là, il va me dire que je n'y connais rien et il aura bien raison) la notion de foncteur représentable est essentielle. En effet, certains "espaces" ne sont pas des variétés algébriques, mais on sait malgré tout décrire le "foncteur associé" (je pense en particulier pour les espaces de modules). Par conséquent on peut faire de la géométrie de manière purement fonctoriel. C'est le point de vue des champs.

Par exemple, si $G$ est un groupe algébrique qui agit sur un schéma $X$, le champ quotient $[X/G]$ n'est presque jamais un schéma (voir ce fil intéressant : https://mathoverflow.net/questions/159279/understanding-the-definition-of-the-quotient-stack-x-g ). Mais ça n'empêche pas de définir par exemple les fonctions sur $[X/G]$ (qui sont les fonctions $G$-invariantes), ou les faisceaux sur $[X/G]$, etc... et d'essayer de faire de la géométrie dessus.

Dans ce formalisme même l'espace $[pt/G]$ est un espace très intéressant ! Et en fait, dans ce cas on peut voir qu'un faisceau sur $[pt/G]$ est la même chose qu'une représentation de $G$.

Un bouquin de géométrie plane qui parle de colimite dès le premier chapitre, wahou ça a l'air assez exotique en tout cas ...

Tu devrais probablement prendre deux exemples types de théorie des représentations et de foncteur représentable, tu verras clairement pourquoi ça n'a rien à voir.

Je dirais : les représentations de $S_3$, celles de $\R/\Z$, et le foncteur associé au quotient d'une variété affine comme $V(y^2-x)$ (anneau de fonctions $k[x,y]/(y^2-x)$) par $(x,y) \to (x,-y)$

Salut,

En fait, quand tu te donne la variété $y=x^2$. Comme tu vois l'équation est à coefficient dans $\Z$ et tu peux la résoudre dans tous les anneaux, de là vient un foncteur $X : R \mapsto \{ (x,y) \in R^2 \mid y=x^2\}$ de la catégorie des anneaux vers la catégorie des ensembles : l'ensemble $X(R)$ est l'ensemble des solutions de ton équation que tu ressous dans l'anneau $R$.

Par foncteur, on entend également qu'il y a une compatibilité des morphismes d'anneaux : quand tu as une solution $(x,y)$ dans un anneau $R$ et que tu as un morphisme d'anneau $\phi : R \to R'$ et bien le couple $(\phi(x),\phi(y))$ est encore une solution (dans $R'$) en gros tu as une application $X(\phi) : X(R) \to X(R')$.

Par exemple : tu peux résoudre l'équation dans l'anneau des nombres duaux $\R[\varepsilon]$ où $\varepsilon^2=0$ i.e l'exemple des $a+\varepsilon b$ où l'on calcul normalement sauf que $\varepsilon^2=0$. Par exemple tu poses $x = 1+\varepsilon u$ et $y = 1+\varepsilon v$ et tu injectes dans l'équation, tu cherches les $(u,v)$, ça va te donner un droite vectorielle (trace là sur un dessin en la plaçant au point $(1,1)$ c'est amusant).