Projection orthogonale et matrice symétrique

André49 · October 2019

Bonjour,

Soit $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur de $E$ sur un sous-espace $F$. Je dirais que :
* en général:
$\qquad$ $p$ orthogonal $\Longleftrightarrow$ $Ker(p) \perp Im(p)$
* dans une base orthonormée de $E$ :
$\qquad$ si $P$ est la matrice associée à $p$, alors : $p$ orthogonal $\Longleftrightarrow$ $P=P^T$
* dans une base non orthonormée de $E$ :
$\qquad$ si $P$ est la matrice associée à $p$, alors : $p$ orthogonal n'est plus équivalent à $P=P^T$

Par conséquent, quand je lis dans un cours ce qui suit en image jointe, je présuppose que le rédacteur s'est placé a priori, sans le dire, dans une base orthonormée de l'espace qu'il considère.

C'est bien ça ? 91452

Math Coss · October 2019

Tu as raison mais l'auteure a raison aussi.

Il est visiblement sous-entendu que « matrice d'une application linéaire » signifie « matrice d'une application linéaire dans la base canonique » et que le produit scalaire est le produit scalaire standard, qui rend la base canonique orthonormée.

En effet, quand la donnée initiale est une matrice $A$ toute nue, c'est-à-dire sans référence à un espace vectoriel abstrait ni à une base spécifiée (disons qu'elle est de taille $n\times n$), la seule façon raisonnable de définir une application linéaire est de considérer $\varphi_A:\R^n\to\R^n$, $X\mapsto AX$. Alors, $A$ est la matrice de $\varphi_A$ dans la base canonique de $\R^n$. Toujours sans plus de contexte, si un produit scalaire est évoqué sans que soit précisé duquel il s'agit, le seul choix standard est... le produit scalaire standard.

André49 · October 2019

C'est d'accord ; c'est donc sous-entendu par principe. J'ai d'ailleurs du mal à imaginer une projection orthogonale dans un espace muni d'une base non orthonormée, et dont la matrice ne serait pas symétrique ; je cherche un exemple simple.

Math Coss · October 2019

Je ne suis pas sûr de comprendre, j'essaie un exemple. On prend $\R^2$, où on note la base standard $(e_1,e_2)$, que l'on munit du produit scalaire standard, et la projection $p$ sur l'axe des abscisses parallèlement à l'axe des ordonnées. On regarde la matrice de $p$ dans la base $(e_1,e_1+e_2)$. L'image de $e_1$ est $e_1$ ; l'image de $e_1+e_2$ est aussi $e_1$ donc la matrice de $p$ dans cette base est la matrice pas du tout symétrique \[\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}.\]